初三周六上午辅导材料.doc

周六辅导材料1.（2012荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE已知tanCBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0t3）时，AOE与ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围解答：（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x3）（x+1）将E（0，3）代入上式，解得：a=1y=x2+2x+3则点B（1，4）（2）证明：如图1，过点B作BMy于点M，则M（0，4）在RtAOE中，OA=OE=3，1=2=45，AE=3在RtEMB中，EM=OMOE=1=BM，MEB=MBE=45，BE=BEA=1801MEB=90AB是ABE外接圆的直径在RtABE中，tanBAE=tanCBE，BAE=CBE在RtABE中，BAE+3=90，CBE+3=90CBA=90，即CBABCB是ABE外接圆的切线（3）解：RtABE中，AEB=90，tanBAE=，sinBAE=，cosBAE=；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP必为直角三角形；DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tanDEO=tanBAE，即DEO=BAE满足DEOBAE的条件，因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则DEP2=AEB=90，sinDP2E=sinBAE=；而DE=，则DP2=DEsinDP2E=10，OP2=DP2OD=9即：P2（9，0）；DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与ABE相似，则EDP3=AEB=90，cosDEP3=cosBAE=；则EP3=DEcosDEP3=，OP3=EP3OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，）（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得y=2x+6过点E作射线EFx轴交AB于点F，当y=3时，得x=，F（，3）情况一：如图2，当0t时，设AOE平移到GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S则ON=AG=t，过点H作LKx轴于点K，交EF于点L由AHGFHM，得，即解得HK=2tS阴=SMNGSSNASHAG=33（3t）2t2t=t2+3t情况二：如图3，当t3时，设AOE平移到PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V由IQAIPF，得即，解得IQ=2（3t）S阴=IVAQ=（3t）2=t23t+综上所述：s=2.（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），与y轴相交于点C，O1为ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（1）求抛物线的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足BMNBPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（3，0），B（1，0），解得a=1，b=4，抛物线的解析式为：y=x2+4x+3（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C（0，3），OC=OA=3，则AOC为等腰直角三角形，CAB=45，cosCAB=在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答图1所示，连接O1B、O1C，由圆周角定理得：BO1C=2BAC=90，BO1C为等腰直角三角形，O1的半径O1B=BC=（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）21，顶点P坐标为（2，1），对称轴为x=2又A（3，0），B（1，0），可知点A、B关于对称轴x=2对称如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，D（4，3）又点M为BD中点，B（1，0），M（，），BM=；在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=设N（x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，点N的坐标为（，）或（，）3.（2012衢州）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）若AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），AOB在平移过程中与COD重叠部分面积记为S试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，解得a=，b=，抛物线解析式为y=x2+x（2）设点P的横坐标为t，PNCD，OPNOCD，可得PN=P（t，），点M在抛物线上，M（t，t2+t）如解答图1，过M点作MGAB于G，过P点作PHAB于H，AG=yAyM=2（t2+t）=t2t+2，BH=PN=当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，t2t+2=，化简得3t28t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，点P的坐标为（，）存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形（3）如解答图2，AOB沿AC方向平移至AOB，AB交x轴于T，交OC于Q，AO交x轴于K，交OC于R求得过A、C的直线为yAC=x+3，可设点A的横坐标为a，则点A（a，a+3），易知OQTOCD，可得QT=，点Q的坐标为（a，）解法一：设AB与OC相交于点J，ARQAOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，=HT=2a，KT=AT=（3a），AQ=yAyQ=（a+3）=3aS四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQHT=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法二：过点R作RHx轴于H，则由ORHOCD，得 由RKHAOB，得 由，得KH=OH，OK=OH，KT=OTOK=aOH 由AKTAOB，得，则KT= 由，得=aOH，即OH=2a2，RH=a1，所以点R的坐标为R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SQOTSROK=OTQTOKRH=aa（1+a）（a1）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为解法三：AB=2，OB=1，tanOAB=tanOAB=，KT=ATtanOAB=（a+3）=a+，OK=OTKT=a（a+）=a，过点R作RHx轴于H，tanOAB=tanRKH=2，RH=2KH又tanOAB=tanROH=，2RH=OK+KH=a+RH，RH=a1，OH=2（a1），点R坐标R（2a2，a1）S四边形RKTQ=SAKTSARQ=KTATAQ（xQxR）=（3a）（3a）（a+2）=a2+a=（a）2+由于0，在线段AC上存在点A（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为4.（2012威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EFx轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PMx轴，垂足为点M，PCM为等边三角形（1）求该抛物线的表达式；（2）求点P的坐标；（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使CMN与CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解答：解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（02）2+1=21分解这个方程，得a=抛物线的表达式为y=（x2）2+1=x2x+2；2分（2）将x=2代入y=x，得y=2点C的坐标为（2，2）即CG=23分PCM为等边三角形CMP=60，CM=PMPMx轴，CMG=30CM=4，GM=2OM=2+2，PM=44分将y=4代入y=（x2）2+1，得4=（x2）2+1解这个方程，得x1=2=OM，x2=220（不合题意，舍去）点P的坐标为（2+2，4）5分（3）相等6分把y=x代入y=x2x+2，得x=x2x+2解这个方程，得x1=4+2，x2=422（不合题意，舍去）y=4+2=EF点E的坐标为（4+2，4+2）OE=4+4又OC=8分CE=OEOC=4+2CE=EF9分（4）不存在假设x轴上存在一点，使CMNCPE，则CN=CE，MCN=PCEMCP=60，NCE=60又CE=EF，CN=EF11分又点E为直线y=x上的点，CEF=45，点N与点F不重合EFx轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点N不存在5.（2012襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由解答：解：（1）四边形ABCO为矩形，OAB=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10由题意，BDCEDCB=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD由勾股定理易得EO=6AE=106=4，设AD=x，则BD=ED=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得，x=3，AD=3抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+x（2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5而CQ=t，EP=2t，PC=102t当PQC=DAE=90，ADEQPC，=，即=，解得t=当QPC=DAE=90，ADEPQC，=，即=，解得t=当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，）；EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则M（48，m+6）或M（4+8，m6）；将M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38，此时 N（4，38）、M（4，32）；将M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26，此时 N（4，26）、M（12，32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）6.（2012烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EFAD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值解答：解：（1）A（1，4）（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4抛物线过点C（3，0），0=a（31）2+4，解得，a=1，抛物线的解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3（2分）（2）A（1，4），C（3，0），可求直线AC的解析式为y=2x+6点P（1，4t）（3分）将y=4t代入y=2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+（4分）点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4GE=（4）（4t）=t（5分）又点A到GE的距离为，C到GE的距离为2，即SACG=SAEG+SCEG=EG+EG（2）=2（t）=（t2）2+1（7分）当t=2时，SACG的最大值为1（8分）（3）第一种情况如图1所示，点H在AC的上方，由菱形CQHE知CQ=CE=t，根据APEABC，知=，即=，解得，t=208；第二种情况如图2所示，点H在AC的下方，由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t，EM=2t，MQ=42t则在直角三角形EMQ中，根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2t）2+（42t）2=t2，解得，t1=，t2=4（不合题意，舍去）综上所述，t=208或t=（12分）（说明：每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）7.（2012盐城）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点A（2，0）和点B（1，），直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q（1）求该二次函数的表达式；（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t0）的变化规律为y1=+2t现以线段OP为直径作C当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与C相交？此时，若直线l被C所截得的弦长为a，试求a2的最大值解答：解：（1）将点A（2，0）和点B（1，）分别代入y=x2+mx+n中，得：，解得：，抛物线的解析式：y=x21；（2）将P点纵坐标代入（1）的解析式，得：x21=+2t，x=，P（，+2t），圆心C（，+t），点C到直线l的距离：+t（1）=t+；而OP2=8t+1+（+2t）2，得OP=2t+，半径OC=t+；直线l与C相切直线l与C是否始终保持相切、当圆心C在直线l上时，+t=1+3t，t=；此时直线l与C相交； 当0t时，C到直线l的距离：+t（1+3t）=2tt+，直线l与C相交； 当t时，C到直线l的距离：1+3t（+t）=2t，若直线l与C相交，则：2tt+，t； 综上，当0t时，直线l与C相交；、若a2最大，则a为C的直径，此时点C在直线l上，由知：此时t=，半径OC=t+=，直径a=，0t时，圆心C到直线l的距离为d=|2t|，又半径