2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法讲义新人教A版选修2.doc

2.2.1综合法和分析法1直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明常用的直接证明方法有综合法和分析法2综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：3分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：综合法与分析法的比较1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法是执果索因的逆推证法()(2)分析法的推理过程要比综合法优越()(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件()答案(1)(2)(3)2做一做(1)证明不等式B是sinAsinB的_条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”)答案(1)分析法(2)综合法(3)充要探究1综合法的应用例1已知a，b是正数，且ab1，求证：4.证明证法一：a，b是正数，且ab1，ab2，4.证法二：a，b是正数，ab20，20，(ab)4.又ab1，4.证法三：11224.当且仅当ab时，取“”号结论探究本例已知条件不变，求证：.证明ab1，a0，b0，ab2，0ab，0.拓展提升利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程【跟踪训练1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsina.求证：BC.证明由bsincsina及正弦定理得sinBsinsinCsinsinA，即sinBsinC，整理得 sinBcosCcosBsinC1，即sin(BC)1.又0B，C0时，用分析法证明如下：要证(ab)，只需证()22，即证a2b2(a2b22ab)，即证a2b22ab，a2b22ab对一切实数恒成立， (ab)成立综上所述，不等式得证拓展提升(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论(2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语【跟踪训练2】在锐角三角形ABC中，用分析法证明：tanAtanB1.证明要证明tanAtanB1，只需证明1.因为A，B为锐角，所以cosA0，cosB0.只需证明cosAcosBsinAsinB，只需证明cosAcosBsinAsinB0，即cos(AB)0.因为C为锐角，且ABC，所以AB为钝角，所以cos(AB)0成立，所以tanAtanB1.探究3综合法与分析法的综合应用例3已知a，b是正实数，求证： .证明证法一：(分析法)要证，只要证ab()，即证(ab)()()，即证ab.也就是要证ab2.显然ab2成立，故 .证法二：(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x2(x0)使左边向整式型过渡)方法一：2222，当且仅当ab时取等号， .方法二：()abab2ab22，当且仅当ab时取等号，.拓展提升实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径【跟踪训练3】已知a，b，c是互不相等的正实数，求证：3.证明证法一：(分析法)要证3，只需证明1113，即证6，而事实上，由a，b，c是互不相等的正实数，2，2，2，6，3得证证法二：(综合法)a，b，c不相等，与，与，与不相等2，2，2. 三式相加得6，3，即3.1.综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种“由因到果”的证明方法.2.分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判断条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，因为成立，所以结论成立”.3.有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.1设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是()Aabc BbcaCcab Dacb答案A解析a，b，c，0，abc.2若a1,0b1 Bab0 Dlogab1,0b1，f(x)bx为R上的减函数f(a)bab1，logba0，logab0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_答案9解析根