高考数学-基本不等式专题

公众号 arctan2016 1 基本不等式专题辅导基本不等式专题辅导 一 知识点总结一 知识点总结 1 1 基本不等式原始形式 基本不等式原始形式 1 若Rba 则abba2 22 2 若Rba 则 2 22 ba ab 2 2 基本不等式一般形式 均值不等式 基本不等式一般形式 均值不等式 若 Rba 则abba2 3 3 基本不等式的两个重要变形 基本不等式的两个重要变形 1 若 Rba 则ab ba 2 2 若 Rba 则 2 2 ba ab 总结 当两个正数的积为定植时 它们的和有最小值 总结 当两个正数的积为定植时 它们的和有最小值 当两个正数的和为定植时 它们的积有最小值 当两个正数的和为定植时 它们的积有最小值 特别说明特别说明 以上不等式中以上不等式中 当且仅当当且仅当ba 时取时取 4 4 求最值的条件求最值的条件 一正 二定 三相等一正 二定 三相等 5 5 常用结论 常用结论 1 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 2 若0 x 则 1 2x x 当且仅当1x 时取 3 若0 ab 则 2 a b b a 当且仅当ba 时取 4 若Rba 则 2 2 22 2 baba ab 5 若 Rba 则 22 11 1 22 baba ab ba 特别说明 以上不等式中 特别说明 以上不等式中 当且仅当当且仅当ba 时取时取 6 6 柯西不等式 柯西不等式 1 若 a b c dR 则 22222 abcdacbd 2 若 123123 a a a b b bR 则有 2222222 1231 1231 1223 3 aaabbbaba ba b 3 设 1212 nn a aabb 与b是两组实数 则有 222 12 n aaa 222 12 n bbb 2 1 12 2 nn aba ba b 二 题型分析二 题型分析 题型一 利用基本不等式证明不等式题型一 利用基本不等式证明不等式 1 设ba 均为正数 证明不等式 ab ba 11 2 2 已 知cba 为 两 两 不 相 等 的 实 数 求 证 cabcabcba 222 3 已知1abc 求证 222 1 3 abc 4 已 知 a b cR 且1abc 求 证 abccba8 1 1 1 5 已 知 a b cR 且1abc 求 证 111 1118 abc 公众号 arctan2016 2 6 2013 年新课标 卷数学 理 选修 4 5 不等式选讲 设 a b c均为正数 且1abc 证明 1 3 abbcca 222 1 abc bca 7 2013 年江苏卷 数学 选修 4 5 不等式选讲 已知0 ba 求证 baabba 2233 22 题型二 利用不等式求函数值域题型二 利用不等式求函数值域 1 1 求下列函数的值域 求下列函数的值域 1 2 2 2 1 3 x xy 2 4 xxy 3 0 1 x x xy 4 0 1 x x xy 题型三 利用不等式求最值题型三 利用不等式求最值 一 一 凑项 凑项 1 已知2 x 求函数 42 4 42 x xy的最小值 变式 1 已知2 x 求函数 42 4 2 x xy的最小值 变式 2 已知2 x 求函数 42 4 2 x xy的最大值 公众号 arctan2016 3 练习 1 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 yx x 的最小值 2 已知 5 4 x 求函数 1 42 45 yx x 的最大值 题型四 利用不等式求最值题型四 利用不等式求最值 二 二 凑系数 凑系数 1 当时 求 82 yxx 的最大值 变式 1 当时 求4 82 yxx 的最大值 变式 2 设 2 3 0 x 求函数 23 4xxy 的最大值 2 若02 x 求yxx 63的最大值 变式变式 若40 x 求 28 xxy 的最大值 3 求函数 2 5 2 1 2512 xxxy的最大值 提示 平方 利用基本不等式 变式变式 求函数 4 11 4 3 41134 xxxy 的最大值 公众号 arctan2016 4 题型五 巧用题型五 巧用 1 1 的代换求最值问题的代换求最值问题 1 已知12 0 baba 求t ab 11 的最小值 法一 法一 法二 法二 变式变式 1 1 已知22 0 baba 求t ab 11 的最小值 变式变式 2 2 已知 28 0 1x y xy 求xy的最小值 变式变式 3 3 已知0 yx 且 11 9 xy 求xy 的最小值 变式变式 4 4 已知0 yx 且 19 4 xy 求xy 的最小值 变式变式 5 5 1 若0 yx且12 yx 求 11 xy 的最小值 2 若 Ryxba 且 1 y b x a 求yx 的最小值 变式变式 6 6 已知正项等比数列 n a满足 567 2aaa 若 存在两项 nm aa 使得 1 4aaa nm 求 nm 41 的最小值 公众号 arctan2016 5 题型六 分离换元法求最值 了解 题型六 分离换元法求最值 了解 1 求函数 1 1 107 2 x x xx y的值域 变式 变式 求函数 1 1 8 2 x x x y的值域 2 求函数 52 2 x x y的最大值 提示 换元法 变式 变式 求函数 94 1 x x y的最大值 题型七 基本不等式的综合应用题型七 基本不等式的综合应用 1 已知1loglog 22 ba 求 ba 93 的最小值 2 已知0 ba 求 ab ba 2 11 的最小值 变 式变 式 1 如 果0 ba 求 关 于ba 的 表 达 式 11 2 baaab a 的最小值 变式变式 2 已知 当1 0 aa时 函数1 1 log xy a 的图像恒过定点A 若点A在直线0 nymx上 求 nm 24 的最小值 公众号 arctan2016 6 3 已知0 yx 822 xyyx 求yx2 最小值 变式变式 1 已知0 ba 满足3 baab 求ab范围 变式变式 2 2010 山东山东 已知0 yx 3 1 2 1 2 1 yx 求xy最大值 提示 通分或三角换元 变式变式 3 已知0 yx 1 22 xyyx 求xy最大值 4 设正实数zyx 满足043 22 zyxyx 则当 z xy 取得最大值时 zyx 212 的最大值为 A 0B 1C 4 9 D 3 提示 代入换元 利用基本不等式以及函数求最值 变式 变式 设zyx 是正数 满足032 zyx 求 xz y2 的 最小值 公众号 arctan2016 7 题型八 利用基本不等式求参数范围题型八 利用基本不等式求参数范围 1 已知0 yx 且9 1 y a x yx恒成立 求正实 数a的最小值 2 已知0 zyx且 zx n zyyx 11 恒成立 如果 Nn 求n的最大值 参考 4 提示 分离参数 换元法 变式变式 已知0 ba满则2 41 ba 若cba 恒成立 求c的取值范围 题型九 利用柯西不等式求最值题型九 利用柯西不等式求最值 1 1 二维柯西不等式 二维柯西不等式 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba 若 a b c dR 则 22222 abcdacbd 2 2 二维形式的柯西不等式的变式 二维形式的柯西不等式的变式 bdacdcba 2222 1 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba bdacdcba 2222 2 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a Rdcba 2 3 bdacdcba 0 时等号成立 即当且仅当bcad d b c a dcba 3 3 二维形式的柯西不等式的向量形式二维形式的柯西不等式的向量形式 0 等号成立时使或存在实数当且仅当 kak 4 4 三 三维柯西不等式维柯西不等式 若 123123 a a a b b bR 则有 2222222 1231 1231 1223 3 aaabbbaba ba b 3 3 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 b a b a b a Rba ii 5 5 一般 一般n维柯西不等式维柯西不等式 设 1212 nn a aabb 与b是两组实数 则有 222 12 n aaa 222 12 n bbb 2 1 12 2 nn aba ba b 2 2 1 1 时等号成立当且仅当 n n ii b a b a b a Rba 公众号 arctan2016 8 题型分析题型分析 题型一 利用柯西不等式一般形式求最值题型一 利用柯西不等式一般形式求最值 1 设 x y zR 若 222 4xyz 则zyx22 的 最小值为时 zyx 析 2 2 1 22 2222222 zyxzyx 3694 zyx22 最小值为6 此时 3 2 2 2 1 6 221 222 zyx 3 2 x 3 4 y 3 4 z 2 设 x y zR 226xyz 求 222 xyz 的最 小值m 并求此时 x y z之值 Ans 3 4 3 2 3 4 4 zyxm 3 设 x y zR 332 zyx 求 222 1 zy