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文档简介

一二维形式的柯西不等式 学习目标 1 认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式 以及定理1 定理2 定理3等几种不同形式 理解它们的几何意义 2 会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1 定理2 定理3 证明比较简单的不等式 会求某些函数的最值 知识链接 2 设平面上两个向量为 a1 a2 b1 b2 如何证明 预习导引 ac bd 2 ac bd ac bd 2 柯西不等式的向量形式设 是两个向量 则 当且仅当 是零向量 或存在实数k 使 k 时 等号成立 3 二维形式的三角不等式 0 规律方法二维形式的柯西不等式可以理解为四个数对应的一种不等关系 对谁与谁组合是有顺序的 不是任意的搭配 因此要仔细体会 加强记忆 例如 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是错误的 而应有 a2 b2 d2 c2 ad bc 2 规律方法利用柯西不等式证明某些不等式时 有时需要将数学表达式适当的变形 这种变形往往要求具有很高的技巧 必须善于分析题目的特征 根据题设条件 综合地利用添 拆 分解 组合 配方 变量代换 数形结合等方法才能发现问题的本质 找到突破口 要点二利用二维柯西不等式求最值例3若3x 4y 2 试求x2 y2的最小值及最小值点 规律方法利用柯西不等式求最值 先变形凑成柯西不等式的结构特征 是利用柯西不等式求解的先决条件 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式 但只要适当添加上常数项或和为常数的各项 就可以应用柯西不等式来解 这也是运用柯西不等式解题的技巧 有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的 但在运用过程中 每运用一次前后等号成立的条件必须一致 不能自相矛盾 否则就会出现错误 多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 1 利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数 应用时要对照柯西不等式的原型 进行多角度的尝试 2 柯西不等式取等号的条件也不容易记忆 如 a2 b2 c2 d2 ac bd 2等号成立的条件是ad bc 可以把a b c d看作成等比 则ad bc来联想记忆 解析 12 12 a2 b2 a b 2 4 a2
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