高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题).doc

高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。 一、直接法(公式法)1、 求正方体的外接球的有关问题例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为_.2、求长方体的外接球的有关问题例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为，则此球的表面积为 .解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ）. A. B. C. D. 解析：长、宽、高分别为2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.外接球的半径.小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是_.解 把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有.故表面积.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例 6 .一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ A ）A. B. C. D. 解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为，从而外接球的直径也为例7（2006年山东高考题）在等腰梯形中，为的中点，将与分布沿、向上折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为（C ）.A. B. C. D. 解图3析：（如图3），即三棱锥为正四面体，至此，这与例6就完全相同了 例8 （2008年浙江高考题）已知球的面上四点A、B、C、D，则球的体积等于 .解析：，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）图42、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，若，则球的体积是 .图5解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）三.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为 .解 球心必在所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.五 .确定球心位置法例5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为 （ C ）A. B. C. D.解 点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，.故 .【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。解： 所以知所以 取斜边的中点，即为该四面体的外接球的球心 所以该外接球的体积为1. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 答案B2. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. 3正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 答案 84.表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A B C D答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，则此球的直径为，故选A。5.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）A.2 B. C. D.答案 D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 B. 13 C. 13 D. 19答案 C7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为答案 8. （2007天津理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为答案 9.（2007全国理15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 ABCPDEF10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是_答案 11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .答案 12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）ABCD以上都不对答案C13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）A B2 C4D答案C1 （2012新课标理