函数概念的形成与发展.docx

“函数概念”的生命线一年三班 吴桢早期的数学不是研究事物的运动变化的，运动变化是物理学研究的对象。到了16世纪，由于实践的需要，各种变化和变化的量之间的关系成为数学家注意的对象，函数思想便随着数学开始研究事物的运动变化而出现。伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达量与量之间的关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用的时间的平方成正比等等，这正是函数概念所表达的思想意义。16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，注意到量的变化及之间的依赖关系，在数学中引进了变量思想成为数学发展的里程碑，也为函数的产生准备了思想基础。把“函数 ”一词最早作为数学术语的是莱布尼兹，他用“函数 ”一词表示任一随着曲线上的点变动的量，如横坐标，纵坐标，弦长，切线长等等，这个定义仅是在几何范围内揭示某些量之间所存在的依存关系，并给出函数的解析定义。18世纪微积分蓬勃发展，欧拉在他的无穷小分析引论 中进一步推广了函数的定义：一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。1750年左右，欧拉在研究波动理论问题时发现原有的函数定义的狭隘性，于是他又给出了一个更为广泛的函数定义：如果某些量以这样的方式依赖于另一些量，即当后面这些量变化时，前面这些量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。1823年柯西在函数的定义中引入了自变量，将函数作如下定义：“当变量之间这样联系起来的时候即给定了这些量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它量就叫做这个自变量的函数 。” 在这个定义中，柯西对函数的进行表达式做了较少地限制，而着重从变量之间地对应关系着手叙述了函数的概念，尽管如此，柯西仍然希望用“自变量 ”来表示其它的量 。其后的狄里克莱函数无疑对柯西的函数定义提出了挑战，这个函数不能用公式表达，也不能用曲线画出。所以1837年狄里克莱又重新定义了函数：如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应，那么y就是x的一个函数，至于整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖x是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。19世纪集合论诞生，受其影响数学家开始将其注意力由函数的解析式转向自变量的取值范围。到20世纪初 ，集合论的思想和方法就开始渗透到数学的各个领域，由于数学严密性的需要，数学家们也尝试着用集合论的方法给函数下定义，也就是目前我们学习的高中函数定义。许多数学概念是在数学的整体演变与发展过程中，逐渐被认可、被完善的，都有一个从模糊、不严密到严谨的发展历程。函数的概念也是一样，函数定义历经数百年来的演变发展，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善和严密了，不过科学和数学的发展是无止境的，函数的概念也会随之继续扩展。通过本节课的学习，我对函数概念有了更深刻的理解，对高中函数概念的认识也更清晰了，函数不一定有解析式，也不一定有图像，但它可以看成两个集合之间的一种对应关系，而对应关系的形式并不唯一，可以是解析式，可以是图像，也可以是表格，甚至可以是语言描述。函数发展史一年三班陆然任何一项科学理论发展的历程都是漫长而曲折的。函数作为数学和计算机科学等学科中重要的一个知识，已经运用于生产生活的各个领域，对人类科学技术的发展有着重要的意义。十七世纪时，人们对函数还没有具体的定义。伽俐略在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但当时尚未意识到要提炼函数概念。1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。到了十八世纪，函数有了较为具体的概念。1718年约翰伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，欧拉在其无穷分析引论一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”十九世纪，人们对于函数的研究有了很大进步。1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷突破了这一局限，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。与此同时，我国清代数学家李善兰于1869年在翻译代数学一书时，把“function”译成“函数”。 进入二十世纪，有了现代函数的概念。1914年豪斯道夫在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变量，元素y称为因变量。函数的发展是一个漫长曲折的历程，历朝历代的数学家通过不断完善，从“变量”、“集合”等角度对函数进行定义，使函数这一概念在人们脑海中越来越清晰。如今我们脑海中函数的定义看似简单，却也是经历了长达三百年的探索，才最终形成了我们今天所认识的“函数”。任何一项科学概念的发现与研究都非一人之力，而是必须经过许多人一步步的探索，这也启发我们在生活中就应有发现与探索新事物的精神，并坚持不懈地对一个问题研究下去。函数发展的三种定义一年三班周志成函数一词是由莱布尼兹 1673 年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。例如，曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等。其后，伯努利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式。欧拉在伯努利之后把函数看作是含有变量和常数的任何方程和公式。不难看出，他们对函数的界定都没有跳出“表达式”的范围。后来，人们又给出了这样的定义：“如果一个量依赖着另一个量，当后一个变化时前一个量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数。 ”这个定义虽然还没有道出函数的本质，但是，却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步。1834 年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化。函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义跳出了“表达式”的框框，建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。1837 年，德国数学家狄里克莱认为，怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数( 狄里克莱函数)：fx=1（x为有理数）0（x为无理数）在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则fx忽0忽1。在无论怎样小的区间里,fx无限制地忽0忽1。因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题。但是，不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下， 这个fx仍是一个函数。狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已经可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义，即函数的“变量说”。到二十世纪初，取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质特征对应关系，用集合论的语言叙述为: 若对集合M的任意元素x，总有集合 N中确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=fx。元素x称为自变元，元素y称为因变元。这种定义方式叫做函数的“对应说”。可是，这个定义中还存在着意义不明确的概念“对应”。因此，数学家们给出了十分形式化的定义。我们看到，“变量说”自然、形象、直观，易于理解，但也有其缺陷一面：(1) “变量说”对函数的实质对应缺少充分的刻画，这是最致命的缺陷。究竟函数是指 f，还是fx，还是y=fx呢? (2) “变量说”强调变量和变域自变量和因变量、定义域和值域，而对对应规律却轻描淡写一笔带过。例如，容易误解y=sin2x+cos2x ( = 1) 不是函数。而“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学语言，普适性强，更重要的是，它们都抓住了函数的本质对应关系。函数概念的发展与比较一年三班杜超1、早期函数概念几何观念下的函数 十七世纪伽俐略在两门新科学一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。2、十八世纪函数概念代数观念下的函数 1718年约翰贝努利才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 3、十九世纪函数概念对应关系下的函数 1822年傅里叶发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837年狄利克雷认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。等到康托尔创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。 4、现代函数概念集合论下的函数 1914年豪斯道夫在集合论纲要中用“序偶”来定义函数。其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。19