最新历年考研数学一真题及答案解析(1987-2012).pdf

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项分 下列每小题给出的四个选项 中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 答案 C 解析 解析 2 2 1 lim 1 x xx x 所以1x 为垂直的 2 2 lim1 1 x xx x 所以1y 为水平的 没有斜渐近线 故两条选C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中n为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 nn 答案 答案 C 解析 解析 222 2 1 22 1 2 xxnxxxnxxxnx fxe eeneeeneenen 所以 0 f 1 1 n n 3 如果 f x y在 0 0处连续 那么下列命题正确的是 A 若极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 B 若极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则 f x y在 0 0 处可微 C 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 0 0 lim x y f x y xy 存在 D 若 f x y在 0 0 处可微 则极限 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 答案 答案 解析 由于 解析 由于 f x y在 0 0处连续 可知如果 22 0 0 lim x y f x y xy 存在 则必有 0 0 0 0 lim 0 x y ff x y 这 样 22 0 0 lim x y f x y xy 就 可 以 写 成 22 0 0 0 0 lim x y fxyf xy 也 即 极 限 22 0 0 0 0 lim x y fxyf xy 存 在 可 知 220 0 0 0 lim0 x y fxyf xy 也 即 22 0 0 00fxyfxyoxy 由 可 微 的 定 义 可 知 f x y在 0 0 处可微 4 设 2k x k e Ie sinxdx k 1 2 3 则有 D A I1 I2 I3 B I2 I2 I3 C I1 I3 I1 D I1 I2 I3 答案 答案 D 解析 解析 2 sin k x k e Iexdx 看为以k为自变量的函数 则可 知 2 sin0 0 k k Iekk 即可知 2 sin k x k e Iexdx 关 于k在 0 上为单调增函数 又由于 1 2 30 则 123 III 故选 D 5 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 c c c c为任意常 数 则下列向量组线性相关的是 A 123 B 124 C 134 D 234 答案 答案 C 解析 解析 由于 1341 134 011 11 0110 11 c ccc 可知 134 线性相关 故选 C 6 设A为 3 阶矩阵 P为 3 阶可逆矩阵 且 1 1 1 2 P AP 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 答案 答案 B 解析 解析 100 110 001 QP 则 11 100 110 001 QP 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP 故选 B 7 设随机变量 x 与 y 相互独立 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分 布 则 0 其它 则 45 000 1 5 y xyy x y P XYf x y dxdydxedxedy 8 将长度为 1m 的木棒随机地截成两段 则两段长度的相关系数为 1 2 1 2 1 1 DCBA 答案 答案 D 解析 解析 设两段长度分别为 x y 显然1 xy 即1yx 故两者是线 性关系 且是负相关 所以相关系数为 1 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸分 请将答案写在答题纸 指定位指定位 置上置上 9 若函数 xf满足方程0 2 xfxfxf及 x exfxf2 则 xf 答案 答案 x e 解析 解析 特征方程为02 2 rr 特征根为2 1 21 rr 齐次微分方 程 2 0fxfxf x 的 通 解 为 xx eCeCxf 2 21 再 由 2 x fxf xe 得 2 12 22 xxx C eC ee 可知 12 1 0CC 故 x f xe 10 2 2 0 2xxx dx 答案 答案 2 解析解析 令1tx 得 211 222 011 2 1 11 2 xxx dxtt dtt dt 11 2 1 1 grad z xy y 答案 答案 1 1 1 解析 解析 2 2 1 1 2 1 1 1 grad 1 1 1 zz xyy x yyy 12 设 0 0 0 1 zyxzyxzyx则 dsy2 答案 答案 3 12 解析 由曲面积分的计算公式可知 解析 由曲面积分的计算公式可知 22222 1 1 1 3 DD y dsydxdyy dxdy 其中 0 0 1Dx yxyxy 故原式 111 22 000 3 33 1 12 y dyy dxyy dy 13 设 X 为三维单位向量 E 为三阶单位矩阵 则矩阵 T xxE 的秩为 答案 答案 2 解析 解析 矩阵 T xx的特征值为0 0 1 故 T Exx 的特征值为1 1 0 又由于 为实对称矩阵 是可相似对角化的 故它的秩等于它非零特征值的个数 也即 2 T r Exx 14 设 A B C是随机事件 A C互不相容 1 2 P AB 1 3 P C 则 P ABC 答案 答案 3 4 解析 解析 由条件概率的定义 P ABC P AB C P C 其中 12 11 33 P CP C 1 2 P ABCP ABP ABCP ABC 由于 A C互不相容 即 AC 0P AC 又 ABCAC 得 0P ABC 代入得 1 2 P ABC 故 3 4 P AB C 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上 解答应解答应 写出文字说明 证明过程或演算步骤写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 解析 解析 令 2 1 lncos1 12 xx f xxx x 可得 2 2 2 2 112 lnsin 11 1 12 lnsin 11 11 lnsin 11 xx fxxxx xx x xx xx xx xx xx xx i i 当01x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 而 00f 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 所以 2 1 lncos1 12 xx xx x 当10 x 所以 2 2 1 sin0 1 x xx x i 故 0fx 即得 2 1 lncos10 12 xx xx x 可知 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 16 本题满分 10 分 求 22 2 xy f x yxe 的极值 解析 解析 22 2 xy f x yxe 先求函数的驻点 0 0 xy fx yexfx yy 解得函数为驻点 为 0e 又 01 00 01 xxxyyy AfeBfeCfe 所以 2 0 0BACA 故 fx y在点 0e处取得极大值 2 1 0 2 f ee 17 本题满分 10 分 求幂级数 0n 2 443 21 nn n x2n 的收敛域及和函数 解析 解析 2 2 11 443 21 41413 211 limlimlim nn nnn nn nn aa n R aa nn n 2 2 211 443 1 21 41413 lim n n nn n nn 2 2 0 443 21 n n nn S xx n 2 2 00 0 2 2 0 2 443 21 443 1 21 443 21 1 21 lim xx n n n n n nn S t dtx dx n nn xx n nn n n 时发散 2 2 0 443 11 21 n n nn x n 时收敛 2 2 0 1 1 4431 21 n n x nn S xx nx 为函数的收敛域 和函数为 18 本题满分 10 分 已知曲线 2 0 cos t ty tfx L 其中函数 tf具有连续导数 且 0 0 f 2 00 ttf 若曲线 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距 离恒为 1 求函数 tf的表达式 并求此曲线 L 与 x 轴与 y 轴无边界的区域的 面积 解析 解析 1 曲线L在任一处 yx的切线斜率为 sin tf t dx dy 过该点 yx 处的切线为 sin costfX tf t tY 令0 Y得 cos tfttfX 由于曲线L与x轴和y轴的交点到切点的距离恒为1 故有 1cos cot 2 2 ttftfttf 又因为 2 0 0 ttf 所以 t t tf cot sin 两边同时取不定积分可得 Cttttf sintansecln 又由于0 0 f 所以0 C 故函数 ttttfsintansecln 2 此曲线L与x轴和y轴的所围成的无边界的区域的面积为 2 0 cos 4 St f t dt 19 本题满分 10 分 已知L是第一象限中从点 0 0沿圆周 22 2xyx 到点 2 0 再沿圆周 22 4xy 到点 0 2的曲线段 计算曲线积分 22 32 L Jx ydxxxy dy 解析 解析 设圆 22 2xyx 为圆 1 C 圆 22 4xy 为圆 2 C 下补线利用格林 公式即可 设所补直线 1 L为0 02 xy 下用格林格林公式得 原式 11 2323 3 2 3 2 L LL x ydxxxy dyx ydxxxy dy 0 22 2 31 3 2 D xx dxdyydy 21 11 44 422 CC SS 20 本题满分 10 分 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 b 求A 已知线性方程组Axb 有无穷多解 求a 并求Axb 的通解 解析 解析 4 14 100 1000 010 101 1 101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a 232 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaaaa a a a aaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解 则有 4 10a 及 2 0aa 可知 1a 此时 原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 进一步化为行最简 形得 10010 01011 00110 00000 4 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 非齐次方程的特解为 0 1 0 0 故其通解为 10 11 10 10 k 线性方程组Axb 存在 2 个不同的解 有 0A 即 2 11 010 1 1 0 11 A 得1 或 1 当1 时 1 2 3 111 0000 1111 xx x x 显然不符 故1 21 本题满分 10 分 三阶矩阵 101 011 10 A a T A为矩阵A的转置 已知 2 T r A A 且二次型 TT fx A Ax 1 求a 2 求二次型对应的二次型矩阵 并将二次型化为标准型 写出正交变换过程 解析 解析 1 由 2 T r A Ar A 可得 101 011101 10 aa a 2 1 1232 3 222 1231223 202 022 224 22444 TT x fx A Axx x xx x xxxx xx x 则矩阵 202 022 224 B 202 022260 224 EB 解得B矩阵的特征值为 123 0 2 6 对于 11 0 0EB X 解得对应的特征向量为 1 1 1 1 对于 22 2 0EB X 解得对应的特征向量为 2 1 1 0 对于 33 6 0EB X 解得对应的特征向量为 3 1 1 2 将 123 单位化可得 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 0 3 1 1 1 6 2 123 Q 22 本题满分 10 分 已知随机变量 X Y以及XY的分布律如下表所示 X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 求 1 2P XY 2 cov XY Y 与 XY 解析 解析 X 0 1 2 P 1 2 1 3 1 6 Y 0 1 2 P 1 3 1 3 1 3 XY 0 1 2 4 P 7 12 1 3 0 1 12 1 11 20 02 10 44 P XYP XYP XY 2 cov cov cov XY YX YY Y cov X YEXYEXEY 其中 2 222 2545 1 1 1 3399 EXEXEYEYDXEXEX 2 2 52 1 33 DYEYEY 2 3 EXY 所以 cov 0X Y 2 cov 3 Y YDY 2 cov 3 XY Y 0 XY 23 本题满分 11 分 设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布 2 N 与 2 2N 其中 是未知参数且0 设ZXY 1 求z的概率密度 2 f z 2 设 12 n z zz 为来自总体Z的简单随机样本 求 2 的最大似然估计量 2 3 证明 2 为 2 的无偏估计量 解析 解析 1 因为 22 2 XNYN 且X与Y相互独立 故 2 0 5 ZXYN 所以 Z的概率密度为 2 2 2 10 1 10 z f zez 2 似然函数 22 22 11 11 1010222 2 2 21 2 2 1 10 10 nn ii ii n nzz n in n i Lf zee 222 2 1 1 ln ln 10ln 2210 n i i nn Lz 2 2 222 2 1 ln 1 0 2 10 n i i dLn z d 解得最大似然估计值为 22 1 1 5 n i i z n 最大似然估计量为 22 1 1 5 n i i Z n 3 2 22222 1111 1111 5 5555 nnnn iiii iiii EEZEZEZDZ nnnn 故 2 为 2 的无偏估计量 1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 当 时 函数取得极小值 2 由曲线与两直线及所围成的平 面图形的面积是 3 与两直线 及都平行且过原 点的平面方程为 4 设为 取 正 向 的 圆 周则 曲 线 积 分 5 已知三维向量空间的基底为 则向量在此基底 下的坐标是 二 二 本题满分本题满分 8 分分 求正的常数与使等式成立 三 三 本题满分本题满分 7 分分 1 设 为连续可微函数求 2 设 矩 阵和满 足 关 系 式其 中 求矩阵 四 四 本题满分本题满分 8 分分 求微分方程的通解 其中常数 五 选择题五 选择题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 x2xyx lnyx e 1yx 0y 1x 1yt 121 111 xyz 2zt L 22 9 xy 2 22 4 L xyy dxxx dy 123 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 0 0 a b 2 200 1 lim1 sin x x t dt bxx at fg uf x xy vg xxy uv xx AB2 AB AB 301 110 014 A B 2 6 9 1yyay 0 a 1 设则在处 A 的导数存在 且 B 取 得极大值 C 取得极小值 D 的 导数不存在 2 设为已知连续函数其中 则的值 A 依赖于和 B 依赖于 和 C 依赖于 不依赖于 D 依赖于 不依赖于 3 设常数则级数 A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 散敛性与 的取值有关 4 设为阶方阵 且的行列式而是的 伴随矩阵 则等于 A B C D 六 本题满分六 本题满分 10 分 分 求幂级数的收敛域 并求其和函数 七 本题满分七 本题满分 10 分 分 求曲面积分 其中是由曲线绕轴旋转一周而 成的曲面 其法向量与轴正向的夹角恒大于 八 本题满分八 本题满分 10 分 分 设函数在闭区间上可微 对于上的每一个函 数的值都在开区间内 且1 证明在内有且仅 有一个使得 2 lim1 xa f xf a xa xa f x 0f a f x f x f x f x 0 s t Itf tx dx 0 0 ts I sts tx txss t 0 k 2 1 1 n n kn n k AnA 0 a A AA A a 1 a 1n a n a 1 1 1 2 n n n x n g 2 81 2 1 4 Ixydydzy dzdxyzdxdy 113 0 zyy f x x y y 2 f x 0 1 0 1 x f x 0 1 fx 0 1 x f xx 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 问为何值时 现线性方程组 有唯一解 无解 有无穷多解 并求出有无穷多解时的通解 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 设在一次实验中 事件发生的概率为现进行次独立试 验 则至少发生一次的概率为 而事件至多发生一 次的概率为 2 有两个箱子 第 1 个箱子有 3 个白球 2 个红球 第 2 个箱子有 4 个白球 4个红球 现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里 再从第 2 个箱子中取出 1 个球 此球是白球的概率为 已 知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球 则从第一个箱子中取出的球 是白球的概率为 3 已 知 连 续 随 机 变 量的 概 率 密 度 函 数 为 则的数学期望为 的方差为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量相互独立 其概率密度函数分别为 求的概率密度函数 a b 1234 234 234 1234 0 221 3 2 321 xxxx xxx xaxxb xxxax A pn AA X 2 21 1 e xx f x XX X Y X fx 1 0 01x 其它 Y fy e 0 y 0 0 y y 2ZXY 1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 一 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求幂级数的收敛域 2 设且 求及其定义 域 3 设为 曲 面的 外 侧 计 算 曲 面 积 分 二 填空题二 填空题 本题共本题共 4 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 12 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 若则 2 设连续且则 3 设周期为 2 的周期函数 它在区间上定义为 则的傅里叶级数在处收敛于 4 设4阶 矩 阵其 中 均为 4 维列向量 且已知行列式则行列 式 三 选择题三 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 设可导且则时在处的微 分是 A 与等价的无穷小 B 与同 阶的无穷小 C 比低阶的无穷小 D 比高 阶的无穷小 2 设是 方 程的 一 个 解 且 则函数在点处 1 3 3 n n n x n 2 e 1 x f xfxx 0 x x 222 1xyz 333 Ix dydzy dzdxz dxdy 2 1 lim 1 tx x f tt x f t f x 3 1 0 x f t dtx 7 f 1 1 f x 2 2 x 10 01 x x Fourier1x 234234 A B 234 4 1 AB AB f x 0 1 2 fx 0 x f x 0 x dy x x x x yf x 240yyy 00 0 0 f xfx f x 0 x A 取得极大值 B 取得极小 值 C 某邻域内单调增加 D 某邻域内 单调减少 3 设空间区域 则 A B C D 4 设幂级数在处收敛 则此级数在处 A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 收敛性不 能确定 5 维向量组线性无关的充要条件是 A 存在一 组不 全为零的 数使 B 中任意两个向量均线性无关 C 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 D 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示 四 四 本题满分本题满分 6 分分 设其中函数 具有二阶连续导数 求 五 五 本题满分本题满分 8 分分 设函数满足微分方程其图形在点 处的切线与曲线在该点处的切线重合 求函数 22222222 12 0 0 0 0 xyzRzxyzRxyz 12 4xdvdv 12 4ydvydv 12 4zdvzdv 12 4xyzdvxyzdv 1 1 n n n ax 1x 2x n 12 3 s sn L 12 s k kkL 1122 0 ss kkk L 12 s L 12 s L 12 s L xy uyfxg yx fg 22 2 uu xy xx y yy x 322e x yyy 0 1 2 1yxx yy x 六 本题满分六 本题满分 9 分 分 设位于点的质点对质点的引力大小为为常 数为质点与之间的距离 质点沿直线自 运动到求在此运动过程中质点对质点的引力 所作的功 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 已 知其 中求 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 已知矩阵与相似 1 求与 2 求一个满足的可逆阵 九 本题满分九 本题满分 9 分 分 设函数在区间上连续 且在内有证 明 在内存在唯一的使曲线与两直线 所围平面图形面积是曲线与两直线 所围平面图形面积的 3 倍 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 设在三次独立试验中 事件出现的概率相等 若已知至少 出现一次的概率等于则事件在一次试验中出现的概率是 2 若在区间内任取两个数 则事件 两数之和小于 的概 率为 3 设随机变量服从均值为 10 均方差为 0 02 的正态分布 已知 则落在区间内的概率为 0 1 AM 2 0 k k r rAMM 2 2yxx 2 0 B 0 0 OAM APBP 100100 000 210 001211 BP 5 A A 200 001 01x A 200 00 001 y B x y 1 P APB P f x a b a b 0 fx a b yf x yfxa 1 S yf x yfxb 2 S AA 19 27 A 0 1 6 5 X 2 2 1 e 2 5 0 9938 2 u x xdu X 9 95 10 05 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量的概率密度函数为求随机变 量的概率密度函数 X 2 1 1 X fx x 3 1YX Y fy 1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 已知则 2 设是 连 续 函 数 且则 3 设 平 面 曲 线为 下 半 圆 周则 曲 线 积 分 4 向量场在点处的散度 5 设矩阵则矩阵 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 当时 曲线 A 有且仅有水平渐近线 B 有且仅有 铅直渐近线 C 既有水平渐近线 又有铅直渐近线 D 既无水平 渐近线 又无铅直渐近线 2 已知曲面上点处的切平面平行于平面 则点的坐标是 A B C D 3 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数 则该非齐次方程的通解是 A B C D 3 2 f 0 3 3 lim 2 h fhf h f x 1 0 2 f xxf t dt f x L 2 1 yx 22 L xy ds divu 1 1 0 Pdivu 300100 140 010 003001 AI 1 2 AI 0 x 1 sinyx x 22 4zxy P 2210 xyz 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 11223 c yc yy 1122123 c yc yccy 1122123 1 c yc yccy 1122123 1 c yc yccy 4 设函数而 其中 则等于 A B C D 5 设是阶矩阵 且的行列式则中 A 必有一列元素全为 0 B 必有两列 元素对应成比例 C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 D 任一列向 量是其余列向量的线性组合 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 设其中函数二阶可导 具有连续二阶偏导数 求 2 设曲线积分与路径无关 其中具有连 续的导数 且计算 的值 3 计算三重积分其中是由曲面 与所围成的区域 四 四 本题满分本题满分 6 分分 将函数展为的幂级数 五 五 本题满分本题满分 7 分分 设其中为连续函数 求 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 证明方程在区间内有且仅有 两个不同实根 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 问为何值时 线性方程组 2 01 f xxx 1 sin n n S xbn xx 1 0 2 sin 1 2 3 n bf xn xdx n L 1 2 S 1 2 1 4 1 4 1 2 AnA0 AA 2 zfxyg x xy f t g u v 2 z x y 2 c xy dxyx dy x 0 0 1 1 2 0 0 xy dxyx dy xz dv 22 zxy 22 1zxy 1 arctan 1 x f x x x 0 sin x f xxxt f t dt f f x 0 ln1 cos2 e x xxdx 0 13 xx 有解 并求出解的一般形式 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 假设为阶可逆矩阵的一个特征值 证明 1 为的特征值 2 为的伴随矩阵的特征值 九 本题满分九 本题满分 9 分 分 设半径为的球面的球心在定球面 上 问当为何值时 球面在定球面内部的那部分的面积最大 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 已知随机事件的概率随机事件的概率 及条件概率则和事件的概率 2 甲 乙两人独立地对同一目标射击一次 其命中率分别为 0 6 和 0 5 现已知目标被命中 则它是甲射中的概率为 3 若随机变量在上服从均匀分布 则方程 有实根的概率是 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量与独立 且服从均值为 1 标准差 均方差 为的 正 态 分 布 而服 从 标 准 正 态 分 布 试 求 随 机 变 量 的概率密度函数 123 422xxx 123 6423xxx nA 1 1 A A A A R 2222 0 xyza a R A 0 5 P A B 0 6P B 0 8 P B A ABU P ABU 1 6 2 10 xx XYX 2Y 23ZXY 1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 过点且与直线 垂直的平面方程是 2 设为非零常数 则 3 设函数 则 4 积分的值等于 5 已知向量组 则该向量组的秩是 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 设是连续函数 且则等于 A B C D 2 已知函数具有任意阶导数 且则当 为大于 2 的正整数时的阶导数是 A B C D 3 设为常数 则级数 2xt 1 2 1 M 34yt 1zt alim x x xa xa f x 1 0 1 1 x x f f x 222 0 e y x dxdy 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 f x e x x F xf t dt F x e e xx ff x e e xx ff x e e xx ff x e e xx ff x f x 2 fxf x n f xn n fx 1 nnf x 1 nn f x 2 n f x 2 n nf x a 2 1 sin 1 n na nn A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与 的取值有关 4 已 知在的 某 个 邻 域 内 连 续 且 则在点处 A 不可导 B 可 导 且 C 取得极大值 D 取得极小 值 5 已知 是非齐次线性方程组的两个不同的解 是对应其次线性方程组的基础解析 为任意 常数 则方程组的通解 一般解 必是 A B C D 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 设其中具有连续的二阶偏导 数 求 3 求微分方程的通解 一般解 四 四 本题满分本题满分 6 分分 求幂级数的收敛域 并求其和函数 五 五 本题满分本题满分 8 分分 求曲面积分 其中是球面外侧在的部分 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 a f x0 x 0 0 0 lim2 1 cos x f x f x 0 x f x 0 0 f 1 2 AXb 1 2 AX0 1 k 2 k AXb 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 12 11212 2 kk 1 2 0 ln 1 2 x dx x 2 sin zfxy yx f u v 2 z x y 2 44e x yyy 0 21 n n nx 2 S Iyzdzdxdxdy S 222 4xyz 0z 设不恒为常数的函数在闭区间上连续 在开区间 内可导 且证明在内至少存在一点使得 七 本题满分七 本题满分 6 分 分 设四阶矩阵 且矩阵满足关系式 其中为四阶单位矩阵表示的逆矩阵表示的转置矩 阵 将上述关系式化简并求矩阵 八 本题满分八 本题满分 8 分 分 求一个正交变换化二次型 成标准型 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 质点沿着以为直径的半 圆周 从点运动到点 的过程中受变力作用 见图 的 大小等于点与原点之间的距离 其方向垂直于线段且与轴正 向的夹角小于求变力对质点 所作的功 十 填空题十 填空题 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 2 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 已知随机变量的概率密度函数 则的概率分布函数 2 设随机事件 及其和事件的概率分别是 0 4 0 3 和 0 6 若表 示的 对 立 事 件 那 么 积 事 件的 概 率 3 已知离散型随机变量服从参数为 2 的泊松分布 f x a b a b f af b a b 0 f 11002134 01100213 00110021 00010002 BC A 1 A E C B CE E 1 CC CC A 222 123121 323 44448fxxxx xx xx x PAB 1 2 A 3 4 B F r F r PO OPy 2 F r P X 1 e 2 x f xx X F x AB BBAB P AB X Poisson 即则随机变量的数学 期望 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设二维随机变量在区域内服从均匀 分布 求关于的边缘概率密度函数及随机变量的方差 2 2 e 0 1 2 k P Xkk k L32ZX E Z X Y 01 Dxyx X21ZX D Z 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 设 则 2 由方程所确定的函数 在点处的全微分 3 已知两条直线的方程是 则过且平行于的 平面方程是 4 已知当时与是等价无穷小 则 常数 5 设 4 阶 方 阵则的 逆 阵 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 曲线 A 没有渐近线 B 仅有水平 渐近线 C 仅有铅直渐近线 D 既有水平 渐近线又有铅直渐近线 2 若连续函数满足关系式则 等于 A B C D 2 1 cos xt yt 2 2 d y dx 222 2xyzxyz zz x y 1 0 1 dz 12 12321 101211 xyzxyz ll 1 l 2 l 0 x 1 2 3 1 1ax cos1x a 5200 2100 0012 0011 AA 1 A 2 2 1 e 1 e x x y f x 2 0 ln2 2 t f xfdt f x e ln2 x2 eln2 x eln2 x 2 eln2 x 3 已知级数则级数等于 A 3 B 7 C 8 D 9 4 设是平面上以 和为顶点的三角 形区域是在第一象限的部分 则 等于 A B C D 0 5 设阶方阵 满足关系式其中是阶 单位阵 则必有 A B C D 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 设是曲面在点处的指向外侧的 法向量 求函数在点处沿方向的方向导数 3 其中是由曲线 绕轴旋转 一周而成的曲面与平面所围城的立体 四 四 本题满分本题满分 6 分分 过点和的曲线族中 求一条曲 线使沿该曲线从到的积分 的值最小 五 五 本题满分本题满分 8 分分 将函数展开成以 2 为周期的傅里叶级 数 并由此求级数的和 1 21 11 1 2 5 n nn nn aa 1 n n a Dxoy 1 1 1 1 1 1 1 DD cos sin D xyxy dxdy 1 2cos sin D xydxdy 1 2 D xydxdy 1 4 cos sin D xyxy dxdy nABC ABCEEn ACBE CBAE BACE BCAE 2 0 lim cos x x n r 222 236xyz 1 1 1 P 22 68xy u z Pn r 22 xyz dv 2 2 0 yz x z 4z 0 0 O 0 A sin 0 yax a LOA 3 1 2 L y dxxy dy 2 11 f xxx 2 1 1 n n 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 设 函 数在上 连 续内 可 导 且 证明在内存在一点使 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 已知 及 1 为何值时不能表示成的线性组合 2 为何值时有的唯一的线性表示式 写出 该表示式 八 本题满分八 本题满分 6 分 分 设是阶正定阵是阶单位阵 证明的行列式大于 1 九 本题满分九 本题满分 8 分 分 在上半平面求一条向上凹的曲线 其上任一点处的曲率 等于此曲线在该点的法线段长度的倒数 是法线与轴的交 点 且曲线在点处的切线与轴平行 十 填空题十 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 若随机变量服从均值为 2 方差为的正态分布 且 则 2 随机地向半圆为正常数 内掷一点 点落 在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比 则原点和该点的连线 与轴的夹角小于的概率为 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设二维随机变量的密度函数为 求随机变量的分布函数 f x 0 1 0 1 1 2 3 3 0 f x dxf 0 1 c 0 f c 1234 1 0 2 3 1 1 3 5 1 1 2 1 1 2 4 8 aa 1 1 3 5 b ab 1234 ab 1234 An En AE P x y PQQx 1 1 x X 2 24 0 3 PX 0 P X 2 02 yaxxa x 4 X Y f x y 2 2e0 0 0 xy xy 其它 2ZXY 1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 设 函 数由 方 程确 定 则 2 函 数在 点处 的 梯 度 3 设 则其以为周期的傅里叶 级数在点处收敛于 4 微分方程的通解为 5 设其中 则矩阵的秩 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 当时 函数的极限 A 等于 2 B 等于 0 C 为 D 不存在但 不为 2 级数常数 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与 有关 3 在 曲 线的 所 有 切 线 中 与 平 面 平行的切线 A 只有 1 条 B 只有 2 条 C 至少有 3 条 D 不存在 4 设则使存在的最高阶数为 A 0 B 1 C 2 D 3 yy x ecos 0 x y xy dy dx 222 ln uxyz 1 2 2 M grad M u f x 2 1 1x 0 0 x x 2 x tancosyyxx y 1 11 21 2 12 12 12 n n nnnn ababab a ba ba b a ba ba b A L L LLLL L 0 0 1 2 ii abin LA r A 1x 12 1 1e 1 x x x 1 1 1 cos n n a n 0 a a 23 xt ytzt 24xyz 32 3 f xxx x 0 n fn 5 要使都是线性方程组的解 只要 系数矩阵为 A B C D 三 三 本题共本题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 满分满分 15 分分 1 求 2 设其中具有二阶连续偏导数 求 3 设 求 四 四 本题满分本题满分 6 分分 求微分方程的通解 五 五 本题满分本题满分 8 分分 计算曲面积分 其中为上半 球面的上侧 六 本题满分六 本题满分 7 分 分 设证 明 对 任 何有 七 本题满分七 本题满分 8 分 分 在变力的作用下 质点由原点沿直线运动到 12 10 0 1 21 AX0 A 212 201 011 102 011 011 422 011 20 esin1 lim 11 x x x x 22 e sin x zfy xy f 2 z x y f x 2 1 e x x 0 0 x x 3 1 2 f xdx 3 23e x yyy 323232 xazdydzyax dzdxzaydxdy 222 zaxy 0 0 0 fxf 12 0 0 xx 1212 f xxf xf x Fyzizxjxyk rrrr 椭球面上第一卦限的点问当 取何值时 力所做的功最大 并求出的最大值 八 本题满分八 本题满分 7 分 分 设向量组线性相关 向量组线性无关 问 1 能否由线性表出 证明你的结论 2 能否由线性表出 证明你的结论 九 本题满分九 本题满分 7 分 分 设 3 阶矩阵的特征值为对应的特征向量 依次为 又向量 1 将用线性表出 2 求为自然数 十 填空题十 填空题 本题共本题共 2 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 6 分分 把答案填在题中把答案填在题中 横线上横线上 1 已知 则 事 件 全不发生的概率为 2 设随机变量服从参数为 1 的指数分布 则数学期望 十一 本题满分十一 本题满分 6 分 分 设随机变量与独立服从正态分布服从 上的均匀分布 试求的概率分布密度 计算结果用 标准正态分布函数表示 其中 222 222 1 xyz abc M F r WW 123 234 1 23 4 123 A 123 1 2 3 123 111 1 2 3 149 1 2 3 123 n nA 11 0 46 P AP BP CP ABP ACP BC ABC X 2 e X E X XY X 2 NY ZXY 2 2 1 e 2 t x xdt 1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一一 试卷试卷 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 把答案填在题把答案填在题 中横线上中横线上 1 函 数的 单 调 减 少 区 间 为 2 由曲线 绕轴旋转一周得到的旋转面在点 处的指向外侧的单位法向量为 3 设函数的傅里叶级数展开式为 则其中系数的值为 4 设数量场则 5 设阶矩阵的各行元素之和均为零 且的秩为则 线性方程组的通解为 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 每小题给出的每小题给出的 四个选项中四个选项中 只有一个符合题目要求只有一个符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内 1 设则 当时 是的 A 等价无穷小 B 同价但非 等价的无穷小 C 高阶无穷小 D 低价无穷 小 2 双纽线所围成的区域面积可用定积分表 示为 A B C D 1 1 2 0 x F xdt x t 22 3212 0 xy z y 0 3 2 2 f xxxx 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 3 b 222 ln uxyz div grad u nAA1 n AX0 sin 234