2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程讲义新人教A版选修2.docVIP

24.1抛物线及其标准方程1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)标准方程y22px(p0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定()(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)抛物线y24x的焦点坐标为_；准线方程为_(2)若抛物线的方程为x2ay2(a0)，则焦点到准线的距离p_.(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为_(4)(教材改编P67T3(2)抛物线y24x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是_答案(1)(1,0)x1(2)(3)x28y(4)(4，4)解析(4)设P点的坐标为(x0，y0)，由题意得x015，x04，y16，y04，P点坐标为(4，4)探究1抛物线的标准方程例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上解(1)设抛物线方程为y22px或x22py(p0)，则将点(3,2)代入方程得2p或2p，所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)当焦点在y轴上时，令x0，由方程x2y40得y2，抛物线的焦点为F(0，2)，设抛物线方程为x22py(p0)，则由2得2p8，所求抛物线方程为x28y；当焦点在x轴上时，同理得y216x.条件探究如果把例1(1)中的“点(3,2)”改为“点(1,2)”如何解答？解解法一：点(1,2)在第一象限，要分两种情形：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y22px(p0)，则222p1，解得p2，抛物线方程为y24x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x22py(p0)，则122p2，解得p，抛物线方程为x2y.解法二：设所求抛物线的标准方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点(1,2)代入，得m4，n.故所求的方程为y24x或x2y.拓展提升求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2mx(m0)或x2ny(n0)，利用已知条件求出m，n的值，进而写出抛物线的标准方程【跟踪训练1】根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)焦点到准线的距离是4；(2)准线方程为y.解(1)p4，抛物线的标准方程有四种形式：y28x，y28x，x28y，x28y.(2)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y.探究2抛物线的定义及其应用例2(1)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.(2)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8(3)已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标解析(1)y2x的准线方程为l：x，由题意得|AF|，|BF|分别为A，B到准线l的距离d1，d2(如图所示)则线段AB的中点到准线的距离d，线段AB的中点到y轴的距离为d.故选C.(2)由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.(3)如图，作PNl于N(l为准线)，作ABl于B，则|PA|PF|PA|PN|AB|，当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号(|PA|PF|)min|AB|3.此时yP2，代入抛物线方程得xP2，P点坐标为(2,2)答案(1)C(2)A(3)见解析结论探究如果例2(3)的问题改为“求点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值”，如何解答？解由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离由图可知，当点P，A(0,2)，和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小所以最小距离d.拓展提升抛物线的定义及应用抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线的定义解决最值问题及其他问题的实质 【跟踪训练2】已知P为抛物线y24x上一个动点，直线l1：x1，l2：xy30，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A2 B4 C. D.1答案A解析将P点到直线l1：x1的距离转化为P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，P到两直线的距离之和的最小值为2，故选A.探究3与抛物线有关的轨迹问题例3已知圆A：(x2)2y21与定直线l：x1，且动圆P与圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程解解法一：设点P的坐标为(x，y)，动圆P的半径为r，由条件知|AP|r1，即 |x1|1，化简，整理得y28x.解法二：如图，设动圆P的半径为r，作PK垂直直线x1，垂足为K，PQ垂直直线x2，垂足为Q，则|KQ|1，所以|PQ|r1，又|AP|r1，所以|AP|PQ|，故点P到圆心A(2,0)的距离和到定直线x2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线x2为准线2，p4，点P的轨迹方程为y28x.拓展提升利用定义求轨迹的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件【跟踪训练3】平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程解解法一：设P点的坐标为(x，y)，则有|x|1.两边平方并化简得y22x2|x|.所以y2即点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)解法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x0时，直线y0上的点适合条件；当x0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x1为准线的抛物线，方程为y24x.故所求动点P的轨迹方程为y24x(x0)或y0(x0)，将点D1，D2代入，得两式相减得2p(y2y1)182132155，解得2p100，故抛物线方程为x2100y.因此，当x18时，yx23243.24 m，故|y1|3.24 m，所以桥梁的拱高OH3.2447.24 m.拓展提升求解抛物线实际应用题的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系(2)假设：设出合适的抛物线的标准方程(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程(4)求解：求出所要求出的量(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题【跟踪训练4】喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设B点坐标为(0,0)，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，因为点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8 m.所以管柱OA的长为1.8 m.探究5与抛物线有关的最值问题例5已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小解(2)284，点A(2,4)在抛物线x28y的内部如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B.由抛物线的定义可知，|PF|PA|PQ|PA|AQ|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|PA|取得最小值，即为|AB|.A(2,4)，不妨设|PF|PA|的值最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0.故使|PF|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为.拓展提升解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如：两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等【跟踪训练5】已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A. B.C(1,2) D(1，2)答案A解析点Q(2，1)在抛物线内部，如图所示由抛物线的定义知，抛物线上的点P到点F的距离等于点P到准线x1的距离，过Q点作x1的垂线，与抛物线交于点K，则K为所求，当y1时，x，点P的坐标为. 1.根椐抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程. 2.抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.1抛物线x28y的焦点坐标是()A(0,2) B(0，2) C(4,0) D(4,0)答案A解析由抛物线的方程为x28y知，抛物线的焦点在y轴正半轴上，所以2p8，2，所以焦点坐标为(0,2)故选A.2若动点P到定点F(1,1)的距离与它到定直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线答案D解析解法一：设动点P的坐标为(x，y)，由题意得，整理得x3y20，动点P的轨迹为直线故选D.解法二：点F(1,1)在直线3xy40上，动点P的轨迹为过点F且垂直于直线l：3xy40的直线3抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B. C1 D.答案B解析抛物线y4x2的标准方程为x