一阶线性微分方程及其解法.ppt

二 可分离变量的微分方程 则称方程 1 为可分离变量的微分方程 解法 一阶微分方程的一般形式 若方程 1 可以写成如下形式 变量分离 两端积分 可以验证 1 4 式为微分方程 1 的 隐式 通解 注 若题目只需求通解 则不必讨论 例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分 C 例2 求微分方程 解 分离变量 两端积分 C 注意到 当C 0时即y 0也是方程的解 应用 衰变问题 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成其它元素 铀的含量不断减少 由物理学知识 铀的衰变速度与未衰变的原子的含量M成正比 已知t 0时 铀的含量为M0 求衰变过程中铀含量M t 随t的变化规律 解 变量分离 两端积分 即 又 故 故 衰变规律为 练习12 1第3题 增加一个条件 曲线过 2 3 点 求曲线方程 变量分离 两端积分 即 又 练习 12 2第3题 两边求导得 变量分离 注意 这里隐藏一个初始条件 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 例6 变量代换是解方程的一种常用的手段 二 齐次方程 解法 将其代入原式 得 即 这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程 然后 利用分离变量法求得 故 代入得 进行分离变量整理 并两边积分 故所求通解为 这是关于变量u与x的可分离变量方程 得 书上还有一个例子 自己可以练习练习 求微分方程 满足初始条件的特解 解 方程可化为 它是齐次方程 令 代入整理后 有 分离变量 则有 两边积分 得 即 代入上式 于是所求方程的通解为 把初始条件 代入上式 求出 故所求方程的特解为 解 这是一个齐次方程 先将方程变形为 代入得 这是关于变量u与x的可分离变量方程 分离变量 并两边积分 得 故 所以 原方程通解为 五 小结 本节主要内容是 1 齐次方程 或 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程 一 一阶线性微分方程及其解法 例1 在微分方程中 若未知函数和未知函数的导数都是一次的 则称其为一阶线性微分方程 1 一阶线性微分方程的定义 是 是 2 一阶线性微分方程的一般式 3 一阶线性微分方程的分类 当时 方程 1 称为一阶线性齐次微分方程 当时 方程 1 称为一阶线性非齐次微分方程 或 齐次线性方程的通解为 1 齐次线性方程 求解法 分离变量 1 常数变易法 2 非齐次线性方程 作变换 可分离变量方程 积分得 一阶非齐次线性微分方程 2 1 的通解为 2 常数变易公式 2 一阶线性非齐次微分方程 常数变易法 1 一般式 2 解法 3 通解公式 齐次的通解 非齐次的特解 关于通解公式要注意 只表示某一个函数 若时 绝对值符号可不写即特别注意 而是 例1 求微分方程 的通解 解法1 常数变易法 原方程变形为 对应的齐次方程为 得通解为 设原方程的解为 从而 代入原方程得 化简得 两边积分 得 所以 原方程的通解 解法2 用公式法 把它们代入公式得 解 例2 则通解为 解 练习 则通解为 原方程变形为 其中 解 不 例4 通解 2020 3 15 30 可编辑 因此方程满足初始条件的特解为 讲 求以下方程在下的特解 原方程可化为 原方程通解为 或 求方程通解 若化为 则不是一阶线性的 而化为 则是一阶线性的 再见书上习题 解 例9 方法1 一阶非齐次线性方程 选择题考点 间断点 求旋转体体积 求平面图形面积 全微分 偏导数的几意义 二重积分几何意义 交换积分次序 大题考点1 求极限2 隐函数求导 一个方程和方程组情形 3 抽象函数求导4 求极值5 直角坐标系下计算二重积分6 极坐标系下计算二重积分 或是化为极坐标 7 解齐次方程 令U 转化为U和X的方程 8 解一阶线性方程 用公式或常数变易法 9 讨论函数在分界点处的连续性 可导性 可微性 解 两曲线的交点 面积元素 选为积分变量 例 画草图如右 注 即动点P以任意方式即沿任意曲线趋向定点P0时 都有f P A 求二重极限方法类似一元函数的一些方法 等价无穷小替换 重要极限公式 无穷小的性质 恒等变形 利用连续性 夹逼准则 换元 利用公式和运算法则 等价无穷小替换 对于多元函数的极限要求不高 只要求会求些较简单的二重极限注意 在多元函数中 洛必达法则不再适用 但如果通过换元后的一元函数照样可用 或用重要公式原式 无穷小的性质 设 确定 两边对x求偏导数 再对上式对x求偏导数 按商的求导公式 对于一阶偏导数 还可用公式法 例1 讨论 1 连续 2 偏导数存在 3 可微 解 1 0 f 0 0 2 3 则 例2 证 令 则 同理 故函数在点 0 0 处连续 下面证明 可微 令 则 注此题表明 偏导数连续只是可微的充分条件 而非必要条件 例1 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 机动目录上页下页返回结束 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 机动目录上页下页返回结束 重复是学习之母 弗莱格 世界上最快而又最慢 最长而又最短 最平凡而又最珍贵 最容易被人忽视 而又最令人后悔的就是时间 高尔基 谢谢大家对我的支持 祝大家考试取得好成绩 因此方程满足初始条件的特解为 二 一阶线性微分方程的应用 1 分析问题 设出所求未知函数 确定初始条件 2 建立微分方程 3 确定方程类型 求其通解 4 代入初始条件求特解 应用微分方程解决实际问题的步骤 例5 解 设所求曲线方程为 从而 即 其中 则通解为 因此所求曲线方程为 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比 比例系数 起跳时的速度为0 求下落的速度与时间的函数关系 例6