中考数学：旋转问题.doc

。中考数学：聚焦“旋转问题”旋转是新课标教材新增的内容，它是图形变换的重要手段之一，因此备受中考命题者的青睐。图形的旋转问题已成为中考试题的一道美丽风景，很值得同学们关注、欣赏。一.旋转角例1.如图1，在等腰RtABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF。当EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。 图1 二.旋转直线（线段）2.如图3，平行四边形ABCD中，ABAC，AB=1，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F，（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数。 图3图43.如图4，直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE，连接AE，则ADE的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 4三.旋转三角（板）形4.如图5，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到。若点A的坐标为（a，b），则点的坐标为_。 图5 5.已知AOB=90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时如图6（1），易证：OD+OE=。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6（2），图6（3）这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。图6四.旋转矩形6.如图7，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图7）。 图7 图8（1）当时，CBD的形状是_；（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（3）当时（如图8），请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，交说明理由。五.旋转正方形7.如图9，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。图9（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。若CD边在ABC的内部时，如图10；或若CF边在ABC的内部时，如图11。六.旋转半圆8.如图12，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180。（1）请你画出旋转后半圆M的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。图12七.旋转图案9如图14，将正方形图案绕中心O旋转180后，得到的图案是（）图14八.旋转抛物线10.把二次函数的图象抛物线绕顶点P旋转180，求旋转后的二次函数解析式。中考数学：聚焦“旋转问题”答案与解析一.旋转角1.如图1，在等腰RtABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB、AC交于点E、F，连接EF。当EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。图1解析：解答此题必须变“动”为“静”，如图2，连接PA，易知PAPC，又ABAC，1=C=45由EPF=APC=90，得2=3而PAEPCF（ASA）PE=PF故PEF始终是等腰直角三角形图2二.旋转直线（线段）2.如图3，平行四边形ABCD中，ABAC，AB=1，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F，（1）证明：当旋转角为90时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数。证明：（1）当AOF=90时，AB/EF，又AF/BE，四边形ABEF为平行四边形（2）相等。四边形ABCD为平行四边形AO=CO，FAO=ECO，AOF=COE，AOFCOE（ASA）AF=EC（3）四边形BEDF可以是菱形，理由：如图3，连接BF、DE，由（2）知AOFCOE，得OE=OF，EF与BD互相平分，当EFBD时，四边形BEDF为菱形，在RtABC中，OA=1=AB，又ABAC，AOB=45，AOF=45，故AC绕点O顺时针旋转45时，四边形BEDF为菱形图33.如图4，直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90至DE，连接AE，则ADE的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 4图4解析：此题关键是求出ADE的高，于是作DHBC于H，EFAD的延长线于F，则CH=。由旋转的性质易证DHCDFE。则EF=CH=2，故选C。三.旋转三角（板）形4.如图5，将AOB绕点O逆时针旋转90，得到。若点A的坐标为（a，b），则点的坐标为_。图5解析：要求的坐标，就是求、。由旋转知识得，。则5.已知AOB=90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时如图6（1），易证：OD+OE=。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图6（2），图6（3）这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。图6析证：本题是将三角板进行旋转，由特殊到一般，结论由不变到变，先提出结论，再由学生操作实验猜出结论，然后加以证明，图（2）结论：，过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q，如图6（2），易证CPDCQE，DP=EQ，OP=OD+DP，DQ=OE，又OP+OQ=，即，图（3）结论：四.旋转矩形6.如图，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED，设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图7）。图7（1）当时，CBD的形状是_；（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（3）当时（如图8），请探究：经过点D，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，交说明理由。图8解析：这是一道旋转问题的综合题，它把图形与旋转，图形与坐标，坐标与函数有机地结合起来。（1）利用旋转的性质得BC=CD，易知BCD=60，故CBD为正三角形。（2）设AH=x，则，由题意得在RtBHC中，即，解得设，把、C（6，0）代入，得解得（3）抛物线顶点为B（6，4），设，把点D（0，0）代入得，依题可得，点M坐标为（8，3）。把代入，得y=3。故此抛物线经过矩形CFED的对称中心M。五.旋转正方形7.如图9，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD。图9（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由。析证：本题是一道实验推理性题目，主要考查同学们的观察、动手操作、逻辑推理和探究等能力。（1）猜想：AF=BD且AFBD。理由：设AF与DC交点为G。BCD=90+ACD，ACF=90+ACD，BCD=ACF，而FC=DC，AC=BCACFBCD（SAS）AF=BD，AFC=BDC而AFC+FGC=90，FGC=DGA，BDC+DGA=90AFBD。故AF=BD且AFBD。（2）结论：AF=BD且AFBD。若CD边在ABC的内部时，如图10；或若CF边在ABC的内部时，如图11。图10图11六.旋转半圆8.如图12，半圆M的直径AB为20cm，现将半圆M绕着点A顺时针旋转180。（1）请你画出旋转后半圆M的图形；（2）求出在整个旋转过程中，半圆M所扫过区域的面积（结果精确到）。图12解析：半圆M所扫过的区域是由半圆M和以A点为圆心，AB长为半径的半圆两部分组成的，找出这样的区域是解题的关键。（1）画图如图13，（2）半圆M所扫过的面积图13七.旋转图案9.如图14，将正方形图案绕中心O旋转180后，得到的图案是（）解析：将图形旋转180后的图形与原图形关于旋转中心对称，图案中的