第3章 时域瞬态响应-新模板.ppt

第三章时域瞬态响应分析 3 1典型输入信号3 2一阶系统的瞬态响应3 3二阶系统的瞬态响应3 4时域分析性能指标3 5高阶系统的瞬态响应3 6应用MATLAB进行系统时域分析 时域分析是指在时间域内研究系统在一定输入信号的作用下 其输出信号随时间的变化情况 控制系统的输出响应是由瞬态响应和稳态响应两部分组成 瞬态响应 系统在某一典型信号输入作用下 其系统输出量从初始状态到稳定状态的变化过程 瞬态响应也称动态响应或过渡过程或暂态响应 稳态响应 系统在某一典型信号输入的作用下 当时间趋于无穷大时的输出状态 稳态响应有时也称为静态响应 3 1典型输入信号 分析瞬态响应 选择典型输入信号 有如下优点1 数学处理简单 在给定典型信号作用下 易确定系统的性能指标 便于系统分析和设计 2 在典型信号作用下的瞬态响应 往往可以作为分析系统在复杂信号作用下的依据 3 便于进行系统辨识 确定未知环节的参数和传递函数 常用的典型输入信号有阶跃信号 斜坡信号 加速度信号 脉冲信号及正弦信号 1 阶跃函数 这意味着t 0时突然加到系统上的一个幅值不变的外作用 幅值a 1的阶跃函数 称为单位阶跃函数 用1 t 来表示 一般将阶跃函数作用下的系统的响应特性作为评价系统动态性能指标的依据 2 斜坡函数 表示在t 0时刻开始 以恒定速度a随时间变化的函数 也称为速度函数 当a 1的斜坡函数 称为单位斜坡函数 3 加速度函数 表示在t 0时刻开始 以恒定加速度随时间变化的函数 也称为抛物线函数 当a 1 2的加速度函数 称为单位加速度函数 4 脉冲函数 当a 1时的脉冲函数 称为单位脉冲函数 记为 t 当系统输入为单位脉冲函数时 其输出响应称为脉冲响应函数 由于 t 函数的拉氏变换等于1 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数 5 正弦函数 正弦函数 或余弦函数 是控制系统常用的一种典型外作用 系统在正弦函数作用下的响应 即频率响应 各函数之间的关系 究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统 需要参照系统正常工作时的实际情况 系统的输入量是突变的 采用阶跃信号 如室温调节系统 系统的输入量是随时间等速变化 采用斜坡信号作为实验信号 系统的输入量是随时间等加速变化 采用抛物线信号 系统为冲击输入量 则采用脉冲信号 系统的输入随时间往复变化时 采用正弦信号 3 2一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统 它的典型形式为一阶惯性环节 闭环极点 特征根 1 T 3 2 1一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入为 输出为 单位阶跃响应为 1 一阶惯性系统总是稳定的 无振动 2 经过时间T 曲线上升到0 632的高度 反过 用实验的方法测出响应曲线达到0 632的时间 即是惯性环节的时间常数 3 经过时间3T 4T 响应曲线达稳定值的95 98 可以认为其调整过程已经完成 故一般取调整时间 3 4 T 4 在t 0处 响应曲线的切线斜率为1 T 特点 ln 1 xo t 与时间t成线性关系 判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数 3 2 2一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡输入为 单位斜坡响应为 输出为 误差 输入为斜坡函数时 一阶系统存在稳态误差T 3 2 3一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入为 单位脉冲响应为 输出为 输入 输出 三种响应关系 三种输入关系 一阶系统三种典型输入信号及响应关系 积分时间常数由零初始条件确定 线性定常系统的重要性质系统对输入信号导数的响应 等于系统对该输入信号响应的导数 系统对于输入信号积分的响应 等于系统对该输入信号响应的积分 积分时间常数则由零输出的初始条件确定 注意 性质只适用于任何线性定常系统 不适用于线性时变系统和非线性系统 3 3二阶系统的瞬态响应 能用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 二阶系统总包含两个贮能元件 能量在两个元件之间相互转换 引起系统具有往复振荡的趋势 如RLC网络就是一个典型的二阶系统 阻尼比 无阻尼自然频率 系统的特征方程 特征方程的根 闭环极点 显然 特征根的性质取决于阻尼比 的大小 而特征根在复平面的分布决定系统的性能 特征根位于s平面的左半部 1 0 1 欠阻尼 一对实部为负的共轭复根 特征根相等 且位于s平面的负实轴上 2 1 临界阻尼 两相等的负实根 特征根不相等 且位于s平面的负实轴上 3 1 过阻尼 两不相等的负实根 特征根共轭纯虚根 位于s平面的虚轴上 4 0 无阻尼 一对共轭纯虚根 特征根位于s平面的右半部 5 0 负阻尼 两根实部为正 3 3 1二阶系统的单位阶跃响应 1 0 1 欠阻尼 一对实部为负的共轭复根 令 阻尼自振频率 特点 无稳态误差 呈现出以 d为角频率衰减振荡 衰减的快慢由 和 n决定 振荡幅随 减小而加大 2 1 临界阻尼 两相等的负实根 特点 单调上升 无振荡 无超调 无稳态误差 3 1 过阻尼 两不相等的负实根 特点 单调上升 无振荡 过渡过程时间长 无稳态误差 4 0 无阻尼 一对共轭纯虚根 特点 无阻尼的等幅振荡 振荡频率 n n 无阻尼固有频率 5 0 负阻尼 两根实部为正 1 0 振荡发散 1 单调发散 上述五种情况分别称为二阶无阻尼 欠阻尼 临界阻尼 过阻尼系统和负阻尼 其阻尼系数 特征根 极点分布和单位阶跃响应如下表所示 正 正 正 负 负 结论 1 二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性 0时 阶跃响应发散 统不稳定 0时 等幅振荡 0 1时 有振荡 愈小 振荡愈严重 但响应愈快 1时 无振荡 无超调 过渡过程长 2 一定时 n越大 瞬态响应分量衰减越迅速 系统能够更快达到稳态值 响应的快速性越好 3 工程中除了一些不允许产生振荡的应用 如指示和记录仪表系统等 通常采用欠阻尼系统 且阻尼比通常选择在0 4 0 8之间 使系统有比较理想的响应曲线 瞬态响应时间短 且系统振荡适度 以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡 0 7时调节时间最短 称为最佳阻尼比 3 3 2二阶系统的单位脉冲响应 阻尼系数 时间响应函数 t 0 3 3 3二阶系统的单位斜坡响应 阻尼系数 时间响应函数 t 0 2 4时域分析性能指标 动态过程与稳态过程在输入信号的作用下 控制系统的时间响应由动态过程与稳态过程两部分组成 动态过程又称为过渡过程或瞬态过程 指时间响应从初始状态到最终状态的过程 稳态过程就是系统的最终状态 即时间趋于无穷大时的时间响应 动态性能与稳态性能在单位阶跃输入信号的作用下 描述控制系统时间响应的指标 称为系统的性能指标 描述动态过程的性能指标 称为系统的动态性能指标 主要有 上升时间tr 峰值时间tp 调节时间ts 超调量Mp 振荡次数N等 描述稳态过程的性能指标 称为系统的稳态性能指标 主要有 稳态误差 2 4 1时域性能指标 峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围 稳态值的 2 或 5 内所需的时间 上升时间tr 1 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间 2 对无超调系统 响应曲线从稳态值的10 上升到90 所需的时间 延迟时间td 响应曲线从0上升到稳态值50 所需的时间 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差 通常用百分数表示 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数 实测时 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数 xo t ess 0 tr ts tr 上升时间 tp 峰值时间 ts 调节时间 t tp ess 稳态误差 1 误差带 5 2 4 2二阶欠阻尼系统的时域性能指标 二阶系统在欠阻尼时是输出响应为 响应曲线从零到第一次达到稳态值所经过时间 当t tr时 1 上升时间tr 由此可见 当 一定时 tr与 n成反比 当 n一定时 tr随 增大而增大 指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间 令得 当 一定时 tp与 n成反比 当 n一定时 tp随 增大而增大 2 峰值时间tp 极点位置与阻尼角 3 最大超调量Mp 将tp代入输出xo t 得 最大超调量Mp只与阻尼比 有关 越大 则Mp越小 0 4 0 8 Mp 25 4 1 5 4 调整时间ts 瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值 允许误差范围内的最小时间 即当t ts时 通常由响应曲线的一对包络线近似计算 xo t 在整个瞬态响应过程中总包络在这对曲线内 同时包络线对称于稳态分量 包络线方程为 代入 有 当 较小时 取 当阻尼比 一定时 无阻尼自振角频率 n越大 则调整时间ts越短 系统响应越快 当 较大时 前面两式的近似度降低 当 n一定时 变化 求ts的极小值 可得当 0 707左右时 系统单位阶跃响应的调整时间ts最短 即响应最快 5 振荡次数N 调节时间ts内响应曲线振荡的次数 N仅与 有关 越大 N越小 系统平稳性越好 二阶系统的动态性能由 n和 决定 增加 降低振荡 减小超调量Mp和振荡次数N 系统快速性降低 tr tp增加 一定 n越大 系统响应快速性越好 tr tp ts越小 Mp N仅与 有关 而tr tp ts与 n有关 通常根据允许的最大超调量来确定 一般选择在0 4 0 8之间 然后再调整 n以获得合适的瞬态响应时间 结论 小结对于欠阻尼二阶系统 极点的阻尼角 阻尼比 决定响应的平稳性 阻尼比 阻尼角 一定时 极点与虚轴的距离决定响应的快速性 例 图 a 所示为一机械系统 当在质量M上施加8 9N的阶跃力后 其位移的时间响应曲线如图 b 所示 试求系统的质量M 弹簧刚度K和粘性阻尼系数B a 机械系统 b 时间响应曲线 解 根据牛顿第二定律 可得 在零初始条件下进行拉氏变换 整理后得 此系统为比例环节与二阶振荡环节的串联 根据拉氏变换的终值定理 有 3 5高阶系统的瞬态响应 一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加 其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成 对于一般单输入 单输出的线性定常系统 其传递函数可表示为 输入为单位阶跃时 其响应函数 如果其极点不相同 经拉氏反变换 得 可见 一般高阶系统瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的 当所有极点均具有负实部时 系统稳定 类似于低阶系统 高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态 极点位于除原点外的虚轴上 等幅振荡极点位于右半复平面 发散极点位于左半复平面 收敛在收敛的情况下 收敛速度取决于极点与虚轴的距离 收敛的平稳性基本取决于极点与负实轴的夹角 零点也有影响 1 主导极点 当部分极点与虚轴的距离远小于其他极点时 称其为主导极点 非主导极点的影响可以忽略 时间常数 1 主导极点对应的时间常数 近似前后的单位阶跃响应曲线 xo t 近似xo t 一般情况下 与虚轴距离是其他极点与虚轴距离的4 5倍及以上的极点可略去 xo t 近似xo t 2 零点与主导极点 当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴的距离时 这样的零点可以忽略 xo t 近似xo t 3 偶极子 相距很近的一对零极点叫作偶极子 远离原点的偶极子 其影响可略 接近原点的偶极子其影响必须考虑 讨论不同位置偶极子对系统响应的影响 s1 xo t 近似xo t 情况 1 时的单位阶跃响应曲线 情况 2 时的单位阶跃响应曲线 xo t 近似xo t 情况 3 时的单位阶跃响应曲线 xo t 近似xo t 对于高阶的复杂系统 为了简化分析和设计 常常需要将高阶系统转化为低阶系统 而 主导极点 非主导零点 和 偶极子 的概念则是高阶系统低阶化的主要依据 作业 3 1 3 3 3 6 3 12 3 20 3 6应用MATLAB进行系统时域分析 在MATLAB的Control工具箱中提供了许多进行线性系统分析时域分析的函数 可以非常方便是使用这一些函数进行系统的时域分析 3 6 1求单位阶跃响应函数step step sys 或step num den 绘制系统的单位阶跃曲线 2 step sys t 或step num den t 绘制系统的单位阶跃曲线 由用户指定时间范围 其中sys是由函数tf zpk 中任意一个建立的系统模型 num和den分别为系统的分子 分母多项式系数向量 t为选定的仿真时间向量 一般t 0 step end等步长地产生 3 y step sys t 返回系统的单位阶跃曲线y值 不绘图 用户可以使用plot函数绘制曲线 4 y t step sys t 返回系统的单位阶跃曲线y值和t值 不绘图 用户可以使用plot函数绘制曲线 例 num 50 den 25 2 1 step num den grid title Unit StepResponseofG s 50 25s 2 2s 1 在得到系统的单位阶跃曲线后 在图形窗口上点击鼠标右键 就可以在子菜单上选择峰值 调整时间 上升时间和稳态值等参数的显示 num 10 den1 1 1 1 den2 1 5 10 den conv den1 den2 sys1 tf num den y1 t1 step sys1 num3 1 den3 1 1 1 sys tf num3 den3 y2 t2 step sys plot t1 y1 r t2 y2 b grid 3 6 2求单位脉冲响应函数impulse impulse sys 或impulse sy