2004年高考天津卷理科数学试题及答案.doc

2004年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，则A. B. C. D.2.不等式的解集为A.， B.，C.， D.，3.若平面向量与向量，的夹角是，且，则A.， B.， C.， D.，4.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则A.1或5 B.6 C.7 D.95.若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则A. B. C. D.6.如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于A. B. C. D.7.若，为圆的弦的中点，则直线的方程是A. B.C. D.8.已知数列，那么“对任意的，点，都在直线上”是“为等差数列”的A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.函数，为增函数的区间是A.， B.， C.， D.，10.如图，在长方体中，.分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，.若，则截面 的面积为A. B. C. D.1611.函数（）的反函数是A. B.C. D.12.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当，时，则的值为A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.某工厂生产、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件.那么此样本的容量_.14.如果过两点，和，的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是_.15.若，则_.（用数字作答）16.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个.（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知.求的值；求的值.18.（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.求的分布列；求的数学期望；求“所选3人中女生人数”的概率.19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点.证明：平面；证明：平面；求二面角的大小.20（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.讨论和是函数的极大值还是极小值；过点，作曲线的切线，求此切线方程.21（本小题满分12分）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数.令，证明数列是等比数列；求数列的通项公式；当时，求.22（本小题满分14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于、两点.求椭圆的方程及离心率；若，求直线的方程；设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明：.2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.15 DAACA 610 BABCC 1112 DD二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。138014 15 200416300三、解答题：17 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能.满分12分. （1）解：. 由，有. 解得.（2）解法一：.解法二：由（1），得 .于是，.代入得.18 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. （1）解：可能取的值为0，1，2。 。所以，的分布列为012P（2）解：由（1），的数学期望为（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为19 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，PA / EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，. 同样由PD底面ABCD，得PDBC.底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC。而平面PDC，. 由和推得平面PBC.而平面PBC，又且，所以PB平面EFD.（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角.由（2）知，.设正方形ABCD的边长为a，则,， .在中，。在中，.所以，二面角CPBD的大小为.方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设.（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.依题意得.底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且.，这表明PA/EG.而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB.（2）证明；依题意得，。又，故.由已知，且，所以平面EFD.（3）解：设点F的坐标为，则.从而.所以.由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角.，且，.所以，二面角CPBD的大小为.20 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分. （1）解：，依题意，即 解得. . 令，得.若，则，故在上是增函数，在上是增函数.若，则，故在上是减函数.所以，是极大值；是极小值.（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.设切点为，则点M的坐标满足.因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得.所以，切点为，切线方程为.21本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.（1）证明：由，可得 . 由数学归纳法可证. 由题设条件，当时 因此，数列是一个公比为k的等比数列.（2）解：由（1）知，当时，当时， .而 所以，当时 .上式对也成立。所以，数列的通项公式为当时 .上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，（2）解：当时22 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.（1）解：由