2003年高考天津卷理科数学试题及答案.doc

2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A. B. C. D.2.已知，则A. B. C. D.3.设函数，若，则的取值范围是A.， B.，C.， D.，4.是平面上一定点，、是平面上不共线的三点，动点满足，则的轨迹一定通过的A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.函数，的反函数为A.， B.，C.， D.，6.棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为A. B. C. D.7.设，曲线在点，处切处的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为A.， B.， C.， D.，8.已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则A.1 B. C. D.9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A. B.C. D.10.已知长方形的四个顶点，和，.一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点，和（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的取值范围是A.， B.， C.， D.，11.A.3 B. C. D.612.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13.展开式中的系数是_.14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_、_、_辆.15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_.（以数字作答）16.下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点、分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是_.（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数.求函数的最小正周期和最大值；在给出的直角坐标系中，画出函数在区间，上的图象.18.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心.求与平面所成角的正弦值；求点到平面的距离.19.（本小题满分12分）设，求函数，的单调区间.20.（本小题满分12分）、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员队队员胜的概率队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得总分分别为、.求、的概率分布；求，.21.（本小题满分14分）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.22.（本小题满分14分）设为常数，且.证明对任意，；假设对任意有，求的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试题（理工农医类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13 146，30，10 15120 16三、解答题17本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1） 所以函数的最小正周期为，最大值为.（2）由（1）知 故函数在区间上的图象是18本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，（）连结A1D，有, 设A1到平面AED的距离为h，则 . 故A1到平面AED的距离为.19本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：. 当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.20本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.解：（1）、的可能取值分别为3，2，1，0.，又， ，.解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A1（2a，0，2）E（a，a，1） G（）.，解得a=1.A1B与平面ABD所成角是.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）平面AA1E，又ED平面AED.平面AED平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，点A在平面AED的射影K在AE上.设， 则由，即， 解得.根据题意知+=3，所以 P(=0)=P(=3)=, P(=1)=P(=2)= P(=2)=P(=1)= , P(=3)=P(=0)= . （2）； 因为+=3，所以 21本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）.因此，直线OP和AP的方程分别为 和 .消去参数，得点的坐标满足方程.整理得 因为所以得： （i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.22本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 （i）当n=2k1，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成立，有 （ii）当n=2k，k=1，2，时，式即为 即为 式对k=1，2，都成