初高中数学培训班衔接教材学生版.doc

初高中数学衔接点1立方和与差的公式。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上数和数之间的距离 例1 解不等式：4解法一：由，得；由，得；若，不等式可变为，即4，解得x0，又x1，x0；若，不等式可变为，即14，不存在满足条件的x；若，不等式可变为，即4， 解得x4又x3，x4综上所述，原不等式的解为 x0，或x413ABx04CDxP|x1|x3|图111解法二：如图111，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式4的几何意义即为|PA|PB|4由|AB|2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧 x0，或x41选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 2.化简：|x5|2x13|（x5） 1.1.2. 乘法公式（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；（4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 例1 计算：解法一：原式= = =解法二：原式= = =例2 已知，求的值解： 1选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于 （ ）（A） （B） （C） （D）（2）不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数已知，求的值 1.1.3二次根式1 分母（子）有理化2 二次根式的意义例1 计算：例2 试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.1 化简：（1）； （2）2 已知，求的值 3若，则_ _4.，求的值5 若，则（ ） （A） （B） （C） （D）6 计算等于（ ）（A） （B） （C） （D）1.1.分式 1分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式当M0时，分式具有下列性质：； 上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式例1若，求常数的值 例2 (1）试证：（其中n是正整数）； （2）计算：； (3)证明：对任意大于1的正整数n， 有例3设，且e1，2c25ac2a20，求e的值1填空题：对任意的正整数n， ()；2若，则（ ） （A） （B） （C） （D）3.正数满足，求的值4若，则_ _；5计算6试证：对任意的正整数n，有 12 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法例1 分解因式： （1）； （2）例2把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）1 ； 2 3 ； 4 4 三边，满足，试判定的形状5 分解因式：x2x(a2a) 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0（a0），有（1） 当0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2；（2）当0时，方程有两个相等的实数根 x1x2；（3） 当0时，方程没有实数根例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1） x2ax(a1)0； （2）x22xa01试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2(2m1) x10有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 如果ax2bxc0（a0）的两根分别是x1，x2，那么x1x2，x1x2例1 已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17例2 若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2|的值； （2）求的值；（3）x13x231已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） （A） （B）3 （C）6 （D）92如果关于x的方程x22(1m)xm20有两实数根，则的取值范围为 （ ） （A） （B） （C）1 （D）1 3已知a，b，c是ABC的三边长，那么方程cx2(ab)x0的根的情况是 （ ） （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根4已知关于x的方程x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1x2)x1x2，求实数k的取值范围5一元二次方程ax2bxc0（a0）的两根为x1和x2求：（1）| x1x2|和；（2）x13x236关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2满足| x1x2|2，求实数m的值 22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质 二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y（2）当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y 二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”例1 把二次函数yx2bxc的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，求b，c的值解：yx2bxc(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数yx2的图像，所以， 解得b8，c14例2 已知函数yx2，2xa，其中a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值解：（1）当a2时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x2；（2）当2a0时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当xa时，函数取最小值ya2；（3）当0a2时，由图226可知，当x2时，函数取最大值y4；当x0时，函数取最小值y0；（4）当a2时，由图226可知，当xa时，函数取最大值ya2；当x0时，函数取最小值y0xyO2axyO2aa24图2.26xyOa224a22xyOaa241 函数y2(x1)22是将函数y2x2 （ ） （A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2已知函数yx22x3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3 2.2.2 二次函数的三种表示方式1一般式：yax2bxc(a0)；2顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k)3交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1上，并且图象经过点（3，1），求二次函数的解析式解二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1顶点坐标是（1，2）设该二次函数的解析式为，二次函数的图像经过点（3，1），解得a2二次函数的解析式为，即y2x28x7例2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式解：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0)，展开，得 yax22ax3a， 顶点的纵坐标为 ，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，|4a|2，即a所以，二次函数的表达式为y，或y例3 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解：设该二次函数为yax2bxc(a0)由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x212x81 函数y(x1)22的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2)2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数yx2+2x1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当x3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x轴交于两点(1，0)和(1，0)，并与y轴交于(0，2) 2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换例1 求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位 2.对称变换例2 求把二次函数y2x24x1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x1；（2）直线y1二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数 例3如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一周后，回到A点设点A移动的路程为x，PAC的面积为yACBDP（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像； （3）求函数y的取值范围分析：要对点P所在的位置进行分类讨论解：（1）当点P在线段AB上移动（如图2210），即0x2时，yx；当点P在线段BC上移动（如图2210），即2x4时，y4x；当点P在线段CD上移动（如图2210），即4x6时，yx4；当点P在线段DA上移动（如图2210），即6x8时，2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程其中,叫做这个方程的二次项,叫做一次项,6叫做常数项例1 解方程组解：由,得 x2y2， 把代入,整理,得 8y28y0，即 y(y1)0 解得 y10，y21 把y10代入, 得 x12； 把y21代入, 得x20 所以原方程组的解是 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解例2 解方程组 解法一：由，得 把代入，整理，得解这个方程，得把代入，得；把代入，得所以原方程的解是 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求这个方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程，得，或所以原方程组的解是1解下列方程组:（1） （2）（3） （4）2.3.2 一元二次不等式解法例1 解不等式： （1）x22x30； （2）xx260； （3）4x24x10； （4）x26x90；（5）4xx20例2 已知不等式的解是求不等式的解解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，即 由于，所以不等式可变为 ，即 整理，得 所以，不等式的解是 x1，或x1 解关于的一元二次不等式为实数).解: , 当 所以,原不等式的解集为 或； 当0，即a2时，原不等式的解为 x； 当为一切实数 . 综上,当a2，或a2时，原不等式的解是 或；当为一切实数2 已知函数yx22ax1(a为常数)在2x1上的最小值为n，试将n用a表示出来解：y(xa)21a2， 抛物线yx22ax1的对称轴方程是xa （1）若2a1，由图2.3-3可知,当xa时，该函数取最小值 n1a2； (2)若a-2时, 由图2.3-3可知, 当x-2时，该函数取最小值 n4a+5； (2)若a1时, 由图2.3-3可知, 当x1时，该函数取最小值 n-2a+2. 31 相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， ，且求.解 图3.1-2例2 在ABC中，为边上的点，求证：.证明（1） ADEABC，证明（2） 如图3.1-3，过作直线，.过作交于，得，图3.1-3因而 例3 已知ABC，在上，能否在上找到一点，使得线段的中点在上. 例4 在ABC中，为BAC的平分线，求证：.角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.1如图，在ABC中，BAC的外角平分线交的延长线于点，求证：. 2如图，在ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.3.12相似形例5 如图,在直角三角形ABC中，BAC为直角，ADBC.求证：（1）AB2=BDBC (2)AC2=DCBC(3)AD2=BDDC(射影定理)1.如图，已知ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）A B1 C D2 2.如图，已知ABC周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）A B C D3.2 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.1 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_；_;2若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由. 33.1圆直线与圆相切时，如图，为圆的切线，得,，且在RTAOP中，.如图，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得PATPTB，因而.例 如图，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中点，求弦BD的长度。设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？图3.3-7 332 点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照