自动控制原理-胡寿松-第二章-控制系统的数学模型.ppt

第二章控制系统的数学模型 在控制系统的分析设计中 首先要建立系统的数学模型 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量 或变量 之间关系的数学表达式 静态数学模型 动态数学模型 建立控制系统数学模型的方法主要有两种 分析法和实验法本章研究用分析法建立系统的数学模型的方法 自动控制原理中数学模型的形式 时域中常用的数学模型 微分方程 差分方程和状态方程 复数域中常用的数学模型 传递函数 结构图 信号流图 频域中常用的数学模型 频率特性等 本章研究微分方程 传递函数和结构图 信号流图这几种数学模型的建立和应用 其余几种数学模型将在以后各种中分别详细阐述 本章目录 2 1控制系统的时域数学模型2 2控制系统的复数域数学模型2 3控制系统的结构图与信号流图2 4在Matlab中数学模型的表示2 5本章小结2 6控制系统建模实例 2 1控制系统的时域数学模型 本节着重研究描述线性 定常 集总参量 对应非线性 时变 分布参量 控制系统的微分方程的建立和求解方法 本节内容 1 线性元件的微分方程2 控制系统微分方程的建立3 线性系统的基本特性4 线性定常微分方程的求解5 非线性微分方程的线性化6 运动的模态 返回 1 线性元件的微分方程 控制系统是由各种物理元件有机组合构成的 因此 在研究控制系统的数学模型之前 我们有必要对常见控制系统中常用的物理元件的数学模型进行研究 最终将这些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统的数学模型 举例说明控制系统中常用的电气元件 力学元件等微分方程的列写 在允许的情况下 通常将非线性特性不强物理元件认为是线性的 以简化处理 如果非线性较强 则不能认为是线性的 例2 1图中是由电阻R 电感L和电容C组成的RLC无源网络 试列写以为输入量 以为输出量的网络微分方程 解设回路电流为 由基尔霍夫定律可写出回路方程为 消去中间变量 便得到描述网络输入输出关系的微分方程为 显然 这是一个二阶线性微分方程 也就是上图无源网络的时域数学模型 例试列写图中所示RC无源网络的微分方程 输入为ui t 输出为u0 t 解根据基尔霍夫定理 可列出以下式子 整理得 令T1 R1C1 T2 R2C2 T3 R1C2则得 该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程 两个储能元件 讨论 比较两个例题的时域表达式的形式 均为二阶线性微分方程 模型结构均为 因此 验证了不同的系统有结构相似的数学模型 相似系统 因此研究某一类通用的数学模型 可以对应很多种系统 这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器系统中可以得到更进一步的证实 另外 对无源网络来说 电感 电容的个数决定了微分方程的阶次 例2 3图为一弹簧阻尼系统 当外力F t 作用于系统时 系统将产生运动 试列写外力F t 与位移y t 之间的微分方程 解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1 t 和粘性摩擦阻力F2 t 根据牛顿第二定律有 其中F1 t 和F2 t 可由弹簧 阻尼器特性写出 式中k 弹簧系数f 阻尼系数 代入 整理且标准化 令称为时间常数 称为阻尼比 称为放大系数 得 该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程 例2 2试写图所示电枢控制直流电动机的微分方程 要求取电枢电压为输入量 电动机转速为输出量 图中 分别是电枢电路的电阻和电感 是折合到电动机轴上的总负载转矩 励磁磁通设为常值 解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转化为机械能 也就是由输入电枢电压在电枢或回路中产生电枢电流 再由电枢电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 从而拖动负载运动 因此直流电动机的运动方程可由以下三部分组成 电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程 电动机轴上的转矩平衡方程 以上三式联立 消去中间变量 便可得到以为输出量 以为输入量的直流电动机微分方程 二阶微分方程 如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很小 可以忽略不计时 上式可以简化为 在工程应用中 由于电枢电路电感较小 通常忽略不计 上式可简化为 一阶微分方程 电动机转速与电枢电压成正比 因此 电动机可作为测速发电机使用 构成反馈系统 列写微分方程的步骤可以总结如下 1 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用 确定其输入量和输出量 2 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律 列写相应的微分方程 3 消去中间变量 得到输出量与输入量之间关系的微分方程 便是元件时域的数学模型 一般情况下 应将微分方程写为标准形式 即与输入量有关的写在方程的右端 与输出量有关的写在方程的左端 方程两端变量的导数项均按降幂排列 返回 2 控制系统微分方程的建立 控制系统的微分方程是其各个组成元件微分方程的有机组合 建立控制系统的微分方程时 一般先由系统原理图画出系统的方块图 并分别列写组成系统各元件的微分方程 然消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程 列写系统各元件的微分方程时需注意两点 1 注意信号传递的单向性 前级的输出是后级的输入 2 注意前后连接两个元件中 后级对前级的负载效应 例2 5试列写下图所示速度控制系统的微分方程 解控制系统的被控对象是电动机 带负载 系统的输出量是转速 输入量是电压 控制系统由给定电位器 运算放大器1 含比较作用 运算放大器2 含RC校正网络 功率放大器 直流电动机 测速发电机 减速器等部分组成 分别列写各部分的微分方程 运算放大器1 形成并放大偏差 运算放大器2 RC校正网络 功率放大器 直流电动机 齿轮系 测速发电机 从上述方程中 消去各个中间变量 整理后便可得到控制系统的微分方程 一阶微分方程 该式可用于研究在给定电压或有负载扰动转矩时 速度控制系统的动态性能 讨论从以上几个例题所示线性元件或控制系统的微分方程可以发现 不同类型的线性元件或控制系统可具有形式相同的数学模型 例如 RLC无源网络和弹簧 质量 阻尼器机械系统的数学模型均是二阶微分方程 或者例题2 5的速度控制系统可看做为一阶微分方程 我们称这些物理系统为相似系统 相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系 便于我们使用一个简单数学模型去研究与其相似的复杂系统 也为控制系统的计算机数字仿真提供了基础 返回 3 线性系统的基本特性 能用线性微分方程描述的系统称为线性系统 自控原理主要研究的一类系统 一般情况下 描述线性系统输入与输出关系的微分方程为 线性时不变 LTI lineartimeinvaritable 输入与输出关系的微分方程为 线性系统的重要性质就是满足叠加原理 也就是满足叠加原理的两个性质 可叠加性和齐次性 或称均匀性 举例说明 设有线性微分方程为 当 时 上述方程的解为 当 时 其解为 如果 容易验证 方程的解必为 而当时 式中A为常数 则方程的解必为 这就是可叠加性 这就是齐次性 或称均匀性 线性系统的叠加原理表明 两个外作用同时加于系统所产生的总输出 等于各个外作用单独作用时分别产生的输出之和 且外作用的数值增大若干倍时 其输出亦相应增大同样倍数 因此 对线性系统进行分析和设计时 如果有几个外作用同时施加于系统 则可以讲他们分别处理 依次求出各个外作用单独加入时系统的输出 然后将他们叠加 此外 每个作用在数值上可取单位值 从而大大简化了线性系统的研究工作 返回 4 线性定常微分方程的求解 线性定常微分方程的求解方法有经典法拉氏变换法 详细阅读教材附录A 拉氏变换P632 计算机求解 matlab 在自动控制原理中 重点掌握拉氏变换法求解线性定常微分方程 其核心思想是将微分方程转换为线性代数方程 以简化计算 具体步骤可归结为 1 考虑初始条件 对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换 将微分方程转换为变量s的代数方程 2 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式 3 对输出量拉氏变换函数求反变换 得到输出量的时域表达式 即为所求微分方程的解 拉氏变换表 常用函数 拉氏变换线性定理其中 拉氏变换的微分定理特别 拉氏变换的初值定理终值定理 例题2 6 理解拉氏变换求解微分方程的方法 零输入响应 零状态响应 初值定理和终值定理 例2 6在例2 1中 若已知 且电容上初始电压 初始电流 电源电压 试求电路突然接通电源时 电容电压的变化规律 解已得网络微分方程为 对各个变量取拉氏变换 注意初始条件 代入整理 得 拉氏变换法解此微分方程 由于电路是突然接通电源的 因此可以视为阶跃输入量 即 或看做 代入求拉式反变换得到网络微分方程的解 部分分式法 或留数法 前两项与与初始条件无关 是由网络输入产生的 因此称为零状态响应 后一项是初始条件产生的 称为零输入响应 如果电路时突然接通又立即断开 则可看做输入响应时脉冲函数 即 代入可求得网络的输出的单位脉冲响应 即为 另外 利用拉氏变换的初值定理和终值定理 可以直接从的表达式中直接求出网络电压的的初始值和终值 当时 的初始值为 的终值为 返回 5 非线性微分方程的线性化 非线性环节广泛存在 严格地讲 几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的 例如 弹簧刚度并非常值 实际上与其形变有关 是位移的函数 电阻 电容 电感等参数值也并非常值 与周围环境等有关 电动机本身的摩擦 死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程 处理非线性的方法 1 忽略 视为线性元件 2 切线法 小偏差法 本节讨论 适用范围有限 近似法 3 非线性系统理论 如描述函数法 相平面法 逆系统法等 切线法的实质是 在小范围内 用切线代替曲线 从而达到线性化的目的 具体做法是 在工作点附近进行泰勒级数展开 忽略高次项 切线法 小偏差法 线性化具体推导 为连续变化的非线性函数 取某平衡状态A为工作点 对应有 当时 设在连续可微 则将它在该点附近用泰勒级数展开为 当增量很小时 略去其高次幂项 则有 略去 便得到函数在工作点A附近的线性化方程为 对于具有两个变量的非线性函数 同样可在某工作点用泰勒级数展开的方式简化为线性函数 参见教材 注意 线性化方程的参数与工作点 平衡状态 有关 应用微偏法 工作范围不能过大 否则误差大 到底多大合适 与非线性曲线形状有关 实际中的控制系统稳定运行后 一般都处在平衡点附近 确定了控制系统期望的平衡点后 可以应用切线法来解决控制系统的非线性问题 例2 7设铁芯线圈电路如图 其磁通与线圈中电流之间关系如下图所示 试列写亦为输入 为输出的电路微分方程 解 设铁芯线圈磁通变化时产生的感应电势为 根据基尔霍夫定律有 在工程应用中 如果电路电压和电流只在某平衡点附近做微小变化 则 非线性方程 当足够小时 略去高阶导数 令 并略去增量符号 便得到 上式便是铁芯线圈电路在平衡点的增量线性化微分方程 若平衡点变动 值也应该改变 返回 6 运动的模态 数学上 线性微分方程的解由特解和通解组成 通解由微分方程的特征根所决定 它代表自由运动 如果n阶微分方程的特征根是且无重根 则把函数称为该微分方程所描述运动的模态 也叫振型 每一种模态代表一种类型的运动形态 齐次微分方程的通解是它们的线性组合 即 如果特征根中有多重实根 则模态会具有如的函数 如果特征根中有共轭复根 则其具有共轭复模态与 还可写成实函数模态的形式 即与 返回 2 2控制系统的复数域 频域 数学模型 控制系统的微分方程数学模型 时域优点 1 物理意义直观 各种变量意义明确 2 借助电子计算机可迅速准确求解 迭代法 缺点 手工求解复杂 控制系统的传递函数数学模型 频域优点 1 不仅可以用来表征系统的动态性能 还可用来研究系统结构或参数变化对系统性能的影响 根轨迹法 频率响应法 2 手工求解简单 便于图解 缺点 物理意义不直观 返回 本节内容 1 传递函数的定义和性质2 传递函数的零点和极点3 传递函数的极点和零点对输出的影响4 典型元部件的传递函数 1 传递函数的定义和性质 传递函数的定义线性定常系统 在零初始条件下 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 若已知线性定常系统的微分方程为 式中c t 为输出量 r t 为输入量 设c t 和r t 及其各阶导数初始值均为零 对上式取拉氏变换 得 则系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入 输出之间的关系 可用图表示 例2 8试求例2 1RLC无源网络的传递函数 解RLC网络的微分方程为 对上式各项求拉氏变换 假设初始状态为零 得 传递函数的性质作为一种数学模型 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数是复变量s的有理真分式函数 即m n 且所有系数为实数 传递函数是系统输入输出关系的表达式 它只取决于系统的结构和参数 而与系统的输入信号的形式无关 当然也与初始条件无关 传递函数只是对系统的数学描述 一种不完全描述 或称黑箱描述 并不完全反映系统的全部内部变量 更不反映系统的实际物理构成 传递函数与微分方程有相通性 是一一对应的 非常容易转换 传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应 传递函数可表征控制系统的动态性能 并用以求出在给定输入量时系统的零初始条件响应 即由拉式变换的卷积定理 有 是系统的脉冲响应 此页不讲 传递函数是在零初始条件下定义的 控制系统的零初始条件有两方面的含义 一是指输入量是在时才作用于系统的 因此 在时 输入量及各阶导数均为零 二是输入量加于系统之前 系统处于稳定的工作状态 即输出量及其各阶导数在时的值也为零 现实的工程控制系统多属于此类情况 零初始条件的定义 此页不讲 例2 9试求例2 2电枢控制直流电动机的传递函数 解在例2 2中已经获得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为 式中 输入有两个 一个是输入的电枢电压 另外一个是负载扰动转矩 因此该系统为多输入单输出 MISO 系统 根据线性系统的叠加原理 可分别求出两个输入分别到输出的传递函数 以便研究各个输入分别作用下对输出的影响和性能 将它们叠加后 便是电动机转速的响应特征 为求电动机的输出转速与电枢电压之间的传递函数 令 则有 注 考研题型 在零初始条件下 对上式各项进行拉氏变换 并整理 得到电动机的输出转速与输入电枢电压之间的传递函数为 同样 令得到电动机转速与负载扰动转矩间的传递函数 电动机转速在电枢电压与负载转矩同时作用下的响应为 例2 10若已知例2 1中RLC网络的输入输出传递函数为初始电压和初始电流 试求电容电压的单位阶跃响应 注 考研题型 解若为零初始状态 则此题非常易求 即 因非零初始状态 此题解法步骤如下 1 首先利用传递函数与微分方程的相通性 得到系统相应的微分方程 2 考虑初始条件 用拉氏变换法求解微分方程便求得非零初始条件下的解 由RLC网络的传递函数 可以直接得到网络的微分方程为 考虑初始条件 对上式各项求拉氏变换后得 于是 式中 对求拉氏反变换便得到 式中 右端第一项是电源电压激励的零初始条件响应 第二项是由初始条件和激励的零输入响应 返回 2 传递函数的零点和极点 式中p1 p2 pn为分母多项式的根 称为传递函数的极点 z1 z2 zn为分子多项式的根 称为传递函数的零点 零极点可为复数也可为实数 系数称为传递系数或根轨迹增益 这种用零极点表示传递函数的方法在根轨迹法中使用较多 传递函数式的分子分母经过因式分解后可表示成如下形式 首一式 在复平面上 往往用表示传递函数的零点 用表示传递函数的极点 这样的图称为传递函数的零极点分布图 如下图 传递函数的极点就是微分方程的特征根 因此它们决定了所描述系统的运动模态 传递函数的分子和分母多项式经过因式分解也可写为如下因子连乘积的形式 尾一式 式中 一次因子对应于实数零极点 二次因子对应于共轭复数零极点 和称为时间常数 称为传递系数或增益 传递函数的这种表示形式在频率法中使用较多 注意两种增益的换算关系 返回 4 典型元部件的传递函数 在时域中已经讨论了构成控制系统的线性元件的微分方程 同样 在复数域 频域 中 构成控制系统的各个元部件也有相应的数学模型 即各环节的传递函数 研究思路 从典型元部件的微分方程推导出典型元部件的传递函数 所选典型元部件均比较常见 常用 电位器 比例环节 电位器是一种把线位移或者角位移转换为电压量的装置 测量元件 常用反馈回路 电位器的电刷角位移与其输出电压之间可看做是简单的线性比例关系 可表示为 其传递函数为 用方框图表示为 测速发电机 微分环节 测速发电机是用于测量角速度并将它转化成电压量的装置 测量元件 常用于反馈回路 测速发电机在电枢两端输出与转子角速度成正比的直流电压 即 式中 是转子角位移 是转子角速度 其传递函数为 或 电枢控制直流伺服电动机 惯性环节 电枢控制的直流伺服电动机在控制系统中广泛用于执行机构 用来对被控对象的机械运动进行快速控制 两相伺服电动机 与电枢控制直流伺服电动机是相似系统 两相伺服电动机具有重量轻 惯性小 加速特性好的有点 是控制系统中广泛应用的一种小功率交流执行机构 无源网络 积分 惯性 振荡环节 为了改善控制系统的性能 常在系统中引入无源网作为校正元件 无源网络通常由电阻 电容 电感组成 求无源网络传递函数的的两种方法 1 微分方程拉氏变换法 推荐 首先写出网络的微分方程 然后在零初始条件下进行拉氏变换 从而得到输出变量与输入变量之间的传递函数 2 复阻抗法 引用复数阻抗直接列写网络的代数方程 然后求其传递函数 详见 电路 惯性环节 图中所示 输入为电压u 输出为电感电流i 求其传递函数 式中 积分环节 上图为运算放大器构成的积分环节 输入ui t 输出u0 t 其传递函数为 式中Ti RC 图中所示为RLC网络 输入为 输出 其动态特性方程为 其传递函数 式中 振荡环节 具有延迟性质的元部件 延迟环节 在实际生产中 有很多场合是存在迟延的 比如皮带或管道输送过程 管道反应和管道混合过程 多个设备串联以及测量装置系统等 迟延过大往往会使控制效果恶化 甚至使系统失去稳定 延迟环节 时滞环节 延迟环节是输入信号加入后 输出信号要延迟一段时间 后才重现输入信号 其动态方程为 其传递函数是一个超越函数 式中 称延迟时间 典型环节小结 注 抛开具体结构和物理特点 控制系统的元部件一般可分为比例 积分 微分 惯性 振荡 延迟环节或几种环节的组合 返回 2 3控制系统的结构图与信号流图 控制系统的结构图与信号流图也是一种数学模型 是控制理论中描述复杂系统的一种简便方法 在控制工程中 为了便于对系统进行分析和设计 常将各元部件在系统中的功能及各部分之间的联系用图形来表示 即系统结构图 或称方框图 和信号流图 与结构图相比 信号流图符号简单 便于绘制和应用 但是信号流图只适用于线性系统 而结构图也可用于非线性系统的描述 从系统的结构图或信号流图中可以方便的求得系统的传递的函数 1 系统结构图的组成和绘制2 结构图的等效变换和简化3 信号流图的组成及性质4 信号流图的绘制5 梅森增益公式6 典型反馈控制系统传递函数的几个基本概念 返回 本节内容 1 系统结构图的组成和绘制 控制系统的结构图是控制系统组成框图的具体化 定量 表现 控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成 它包括以下四种基本单元 信号线 引出点 比较点 方框 或环节 绘制系统结构图时 首先列写系统各元部件的微分方程或者传递函数 并将它们用方框表示 然后 根据各元部件的信号流向 用信号线依次将个方框连接便得到系统的结构图 绘制系统结构图的步骤 注 系统结构图中的方框与实际系统的元部件并非一一对应 一个实际元部件可以用一个或几个方框表示 而一个方框也可以代表几个元部件或者是一个子系统 或是一个大的复杂系统 例2 11下图所示为一个电压测量装置 也是一个反馈控制系统 是待测量电压 是指示的电压测量值 如果不同于 就产生误差电压 经调制 放大以后 驱动两相伺服电动机运转 并带动测量指针移动 直至 这时指针指示的电压值即是待测量的电压值 试绘制该系统的结构图 电压测量装置原理图 解系统由比较电路 机械调制器 放大器 两相伺服电动机及指针机构组成 首先 考虑负载效应分别列写各元部件的运动方程 并在零初始条件下进行拉氏变换 有 比较电路 调制器 放大器 两相伺服电动机 绳轮传动机构 测量电位器 根据各元部件在系统中的工作关系 确定其输入量和输出量 并按照各自的运动方程分别画出每个元部件的方框图 最后 用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连起来 便得到系统结构图 如果两相伺服电动机直接以前所学的简化形式表示 则结构图可以进一步简化 实际上 是虚线框内结构图的简化 例画出下图所示无源RC网络的结构图 解可将无源网络视为一个系统 组成网络的元件就对应于系统的元部件 选取变量如图所示 根据电路定律 写出其微分方程组为 零初始条件下 对等式两边取拉氏变换 得 RC网络方框图 各环节方框图 返回 2 结构图的等效变换和简化 控制系统结构图简化的目的 化繁为简 求取闭环系统的传递函数 结构图的简化一般方法 在遵循等效原则的情况下 结构图的三种基本运算 结构图的变换 结构图的简化 1 a RC网络 思考 a图的电路传递函数是否等于b图两个电路传递函数之积 两个串联连接的元件的方框图应考虑负载效应 b c 2 应该说 结构图的变换与运算是手段 结构图的化简才是目的 化简的基本原则是 等效原则 3 结构图的简化 例2 14简化图2 32系统结构图 并求系统传递函数 G1 G2 G3 G4 H3 H2 H1 a b 请你写出结果 行吗 比较点后移 注意 不宜前移 解耦合 比较点移动 错 G2 无用功 向同类移动 G1 作用分解 返回 3 信号流图的组成及性质 信号流图是跟结构图类似的一种图示模型 梅森 Mason 或翻译为梅逊 较早尝试 信号流图的组成 它是由节点和支路组成的一种信号传递网络 欧姆定律与信号流图 典型的信号流图 该信号流图由五个节点和八条支路组成 由上图 可以得到描述五个变量因果关系的一组代数方程式为 信号流图的基本性质 信号流图只适用于线性系统 节点标志系统的变量 支路相当于乘法器 信号在支路上只能沿箭头单向传递 对于给定系统 节点变量的设置是任意的 因此信号流图不是唯一的 信号流图中的常用名词术语 源节点 输入节点 只有输出支路 无输入支路 阱节点 输出节点 只有输入支路 无输出支路 混合节点 既有输入又有输出的支路 前向通路 信号从输入节点到输出节点 每个节点只通过一次的通路 叫做前向通路 前向通路上各支路增益的乘积 称为前向通路总增益 一般用表示 回路 起点和终点在同一节点 而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为单独回路 简称回路 回路中所有支路增益的乘积叫做回路增益 用表示 不接触回路 回路之间没有公共节点时 这种回路叫不接触回路 信号流图的简化 结构图的简化规则同样适用 1 加法规则 并联 n个同方向并联支路的总传输 等于各个支路传输之和 如图 a 所示 2 乘法规则 串联 n个同方向串联支路的总传输 等于各个支路传输之积 如图 b 3 混合节点可以通过移动支路的方法消去 如图 c 4 回环 反馈 可根据反馈连接的规则化为等效支路 如图 d 返回 4 信号流图的绘制 1 由系统微分方程绘制信号流图 2 由系统结构图绘制信号流图 1 由系统微分方程绘制信号流图 步骤 列写控制系统的微分方程 通过拉氏变换 将微分方程变换为S的代数方程 对系统的每个变量指定一个节点 并按照系统中变量的因果关系 从左向右顺序排列 根据数学方程式将各个节点变量正确连接 并标明支路增益 便可得到系统的信号流图 例2 17绘制图2 24的RC无源网络的信号流图 由基尔霍夫定律 列写网络的微分方程如下 拉氏变换后 按照因果关系 重新排列 2 由系统结构图绘制信号流图 考研题型 例将图2 43所示系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数 解 信号流图如图 a 所示 化G1与G2串联等效为G1G2支路 G3与G4并联等效为G3 G4支路 如图 b G1G2与 H1反馈简化为支路 又与G3 G4串联 等效为如图 c 进而求得闭环传递函数为 返回 5 梅森增益公式 masongainrule 简单的系统结构图或者信号流图经过等效变换简化后 可直接求得系统的传递函数 复杂的结构图或者信号流图 等效变换简化很繁琐 此时宜用梅森公式直接求取传递函数 本节不加证明的给出梅森增益公式的结论与具体用法 并结合具体例子练习 考研必考 考试重点 梅森增益公式 例2 19试用梅森公式求例2 14 p49 系统的传递函数 我们可直接对系统结构图或者信号流图利用梅森公式 从源节点到阱节点只有一条前向通路 其总增益为有三个单独回路 回路增益分别是 没有不接触回路 且前向通道与所有回路均接触 故 由梅森增益公式求得系统的传递函数为 2 21 例利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数C s R s 解 输入量R s 与输出量C s 之间有4条前向通道 对应与为p1 G1G2G3G4G5 1 1p2 G1G6G4G5 2 1p3 G1G2G7G5 3 1p4 G1G6H2G7G5 4 1 图中有五个单回环 其增益为 L1 G3H2 L2 G5H1 L3 G2G3G4G5H3 L4 G6G4G5H3 L5 G2G7G5H3 其中L1与L2是互不接触的 其增益之积 L1L2 G3G5H1H2 系统的特征式 为 系统的传递函数为 例求图示信号流图的闭环传递函数 解 系统单回环有 L1 G1 L2 G2 L3 G1G2 L4 G1G2 L5 G1G2系统的特征式 为 前向通道有四条 P1 G1 1 1P2 G2 2 1P3 G1G2 3 1P4 G1G2 4 1 系统的传递函数为 返回 6 典型反馈控制系统传递函数的几个基本概念 考研重点概念与公式 a b c 叠加原理 d 闭环系统的误差传递函数 拓展 鲁棒性 当输入信号和扰动信号同时作用时 系统的输出为 上式如果满足 则可简化为 上式表明 在一定条件下 系统的输出只取决于反馈通路传递函数及输入信号 与前向通路传递函数无关 也不受扰动作用的影响 特别是当 即单位负反馈时 从而实现了对输入信号的完全复现 且对外界扰动和内部参数变化引起的控制性能改变具有较强的抑制能力 这种能力可称为控制系统的鲁棒性 Robustness 鲁棒性定义 控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能 鲁棒性是英文robustness一词的音译 也可意译为稳健性 鲁棒控制是控制理论研究中一个重要方向 鲁棒与最优控制 周克敏著 周克敏的两本学术著作 RobustandOptimalControl 鲁棒与最优控制 和 EssentialsofRobustcontrol 鲁棒控制基础 被世界上各大学广泛用作研究生教材 其中包括美国麻省理工 斯坦福 柏克利 加州理工学院等知名大学 现在已被SCI引用达700多次 爱趣无穷 思考 研究单位 负 反馈系统的普遍意义 具有普遍意义的单位反馈形式 等效于研究 给定和输出在数值上相等 2 4在MATLAB中数学模型的表示 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的 在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程 传递函数 状态空间表达式等 而这些模型之间又有着某些内在的等效关系 MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统 LinearTimeInvariant简记为LTI 1 传递函数 单输入单输出线性连续系统的传递函数为 其中m n G s 的分子多项式的根称为系统的零点 分母多项式的根称为系统的极点 令分母多项式等于零 得系统的特征方程 D s a0sn a1sn 1 an 1s an 0 因传递函数为多项式之比 所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的 MATLAB中多项式用行向量表示 行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数 例如多项式P s s3 2s 4 其输入为 P 1024 注意尽管s2项系数为0 但输入P s 时不可缺省0 MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为 C conv A B 例如给定两个多项式A s s 3和B s 10s2 20s 3 求C s A s B s 则应先构造多项式A s 和B s 然后再调用conv 函数来求C s A 1 3 B 10 20 3 C conv A B C 1050639即得出的C s 多项式为10s3 50s2 63s 9 MATLAB提供的conv 函数的调用允许多级嵌套 例如G s 4 s 2 s 3 s 4 可由下列的语句来输入 G 4 conv 1 2 conv 1 3 1 4 有了多项式的输入 系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来 其格式为 sys tf num den 其中num为分子多项式 den为分母多项式 num b0 b1 b2 bm den a0 a1 a2 an 对于其它复杂的表达式 如 可由下列语句来输入 num conv 1 1 conv 1 2 6 1 2 6 den conv 1 0 0 conv 1 3 1 2 3 4 G tf num den Transferfunction 几个常用指令 help帮助clc清屏clear清理内存 2 传递函数的特征根及零极点图 传递函数G s 输入之后 分别对分子和分母多项式作因式分解 则可求出系统的零极点 MATLAB提供了多项式求根函数roots 其调用格式为 roots p 其中p为多项式 例如 多项式p s s3 3s2 4 p 1 3 0 4 p s s3 3s2 4 r roots p p s 0的根r 3 35330 1777 1 0773i0 1777 1 0773i 反过来 若已知特征多项式的特征根 可调用MATLAB中的poly 函数 来求得多项式降幂排列时各项的系数 如上例 poly r p 1 00003 00000 00004 0000 而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值 其调用格式为 polyval p a 其中p为多项式 a为给定变量值 例如 求n s 3s2 2s 1 s 4 在s 5时值 n conv 3 2 1 1 4 value polyval n 5 value 66 p z pzmap num den 其中 p 传递函数G s num den的极点z 传递函数G s num den的零点例如 传递函数 传递函数在复平面上的零极点图 采用pzmap 函数来完成 零极点图上 零点用 表示 极点用 表示 其调用格式为 用MATLAB求出G s 的零极点 H s 的多项式形式 及G s H s 的零极点图 numg 6 0 1 deng 1 3 3 1 z roots numg z 0 0 4082i0 0 4082i G s 的零点 p roots deng p 1 0000 0 0000i 1 0000 0 0000i G s 的极点 1 0000 0 0000i n1 1 1 n2 1 2 d1 1 2 i d2 1 2 i d3 1 3 numh conv n1 n2 denh conv d1 conv d2 d3 printsys numh denh numh denh H s 表达式 num conv numg numh den conv deng denh pzmap num den 零极点图 title pole zeroMap 零极点图如图所示 3 控制系统的方框图模型 若已知控制系统的方框图 使用MATLAB函数可实现方框图转换 a 串联如图所示G1 s 和G2 s 相串联 在MATLAB中可用串联函数series 来求G1 s G2 s 其调用格式为 num den series num1 den1 num2 den2 其中 b 并联如图所示G1 s 和G2 s 相并联 可由MATLAB的并联函数parallel 来实现 其调用格式为 num den parallel num1 den1 num2 den2 其中 c 反馈 反馈连接如图所示 使用MATLAB中的feedback 函数来实现反馈连接 其调用格式为 num den feedback numg deng numh denh sign 式中 sign为反馈极性 若为正反馈其为1 若为负反馈其为 1或缺省 例如G s H s 负反馈连接 numg 1 1 deng 1 2 numh 1 denh 1 0 num den feedback numg deng numh denh 1 printsys num den num den MATLAB中的函数series parallel和feedback可用来简化多回路方框图 另外 对于单位反馈系统 MATLAB可调用cloop 函数求闭环传递函数 其调用格式为 num den cloop num1 den1 sign 4 控制系统的零极点模型 传递函数可以是时间常数形式 也可以是零极点形式 零极点形式是分别对原系统传递函数的分子和分母进行因式分解得到的 MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数 其调用格式分别为 z p k tf2zp num den num den zp2tf z p k 其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式 而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型 例如G s 用MATLAB语句表示 num 12241220 den 24622 z p k tf2zp num den z 1 9294 0 0353 0 9287i 0 0353 0 9287i p 0 9567 1 2272i 0 9567 1 2272i 0 0433 0 6412i 0 0433 0 6412ik 6 即变换后的零极点模型为G s 可以验证MATLAB的转换函数 调用zp2tf 函数将得到原传递函数模型 num den zp2tf z p k num 06 000012 00006 000010 0000den 1 00002 00003 00001 00001 0000 即 5 状态空间表达式 状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型 它由状态方程和输出方程构成 即x t Ax t Bu t y t Cx t Du t 式中x t Rn称为状态向量 n为系统阶次 A Rn n称为系统矩阵 B R