1997年全国高中数学联赛试题含答案 - 宜兴教育信息网.doc

1997年全国高中数学联合竞赛试卷(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列满足(n2)，x1a， x2b， 记Snx1x2Lxn，则下列结论正确的是(A)x100a，S1002ba (B)x100b，S100=2ba(C)x100b，S100ba (D)x100a，S100b-a2如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得，记其中表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，则(A)在单调增加(B)在单调减少(C)在(0，1)单调增加，而在(1，单调减少(D)在(0，)为常数3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个4在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1) (B)(1， (C)(0，5) (D)(5，5设，a = arcsin，则(A) (B)(C) (D)6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二、 填空题(每小题9分，共54分)设x，y为实数，且满足，则xy = .过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB| =的直线l恰有3条，则 .已知复数z满足，则z的幅角主值范围是 已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SASBSC2，AB2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种设a =lgzlgx(yz)-11，b =lgx-1lg(xyz1)，c =lgylg(xyz)-11，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 三、（本题满分20分） 设xyz，且xyz =，求乘积cos x sin y cos z的最大值和最小值四、(本题满分20分)设双曲线xy1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且|S|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上1997年全国高中数学联赛答案一、选择题 1.A 2. 3. 4. 5. 6. 二、填空题 题号123456答案24q kp+ 26lg2三、由已知得x= ，sin(x-y)0，sin(y-z)0，于是，cosxsinycosz= cosxsin(y+z)+sin(y-z) cosxsin(y+z)= cos2x cos2 = ,且当x= ,y=z= 时取等号所以cosxsinycosz的最小值是 ,类似方法可得cosxsinycoszr的最大值是 。 四、(1)用反证法；（2）Q、R的坐标是(2- ,2+ ),(2+ ,2- ) 五、令公比为q,可得a1(1+q+q2+q3+q4)= (1+q+q2+q3+q4) （1）若1+q+q2+q3+q4=0，则|q|=1,复数a1,a2,a3,a4,a5都在