“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2012).doc

2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题1设复数，其中为实数，若的实部为2，则的虚部为（ ）（A） （B） （C） （D）2设向量，满足，则的最小值为（ ）（A）2 （B） （C）1 （D）3。缺4。缺5在中，三边长，满足，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）6如图，的两条高线交于，其外接圆圆心为，过作垂直于，与相交于，则与面积之比为（ ）（A） （B） （C） （D）7设过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则的面积的最小值是（ ）（A）1 （B） （C） （D）8设双曲线，椭圆若的短轴长与的实轴长的比值等于的离心率，则在的一条准线上截得线段的长为（ ）（A） （B）2 （C） （D）49欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ）（A）6 （B）7 （C）8 （D）910设定点是以点为中心的正四面体的顶点，用表示空间以直线为轴满足条件的旋转，用表示空间关于所在平面的镜面反射，设为过中点与中点的直线，用表示空间以为轴的180旋转设表示变换的复合，先作，再作。则可以表示为（ ）（A） （B） （C） （D）二、解答题11在中，已知，外接圆半径（）求角的大小；（）求面积的最大值12设为抛物线上不同的四点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线设到直线，直线的距离分别为，已知（）判断是锐角三角形直角三角形钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由；（）若的面积为240，求点的坐标及直线的方程13（）正四棱锥的体积，求正四棱锥的表面积的最小值；（）一般地，设正棱锥的体积为定值，试给出不依赖于的一个充分必要条件，使得正棱锥的表面积取得最小值14假定亲本总体中三种基因型式：的比例为且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个（）求子一代中，三种基因型式的比例；（）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由15设函数，且存在函数，满足（）证明：存在函数满足；（）设证明：2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题AD C ABDBD二、解答题11解：（）由得 所以即因为为内角所，（）又由余弦定理得，即又，所以有，当且仅当即为等边三角形时，的面积取得最大值12解：（）设则由可知的斜率因此可以设直线方程为把代入，整理得所以因为都不平行于轴，所以直线斜率之和为可知直线的倾角互补，而平行于轴，所以平分作为垂足则可得由已知，可得，所以所以为直角三角形（）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为把分别代入，得所以由已知可知，所以解得，所以或当取时，求得，又斜率，所以直线方程为,即同理，当取时，直线方程为13解：（）设正四棱锥的底面正方形的边长为，高为则正四棱锥的体积正四棱锥的表面积 从而 令设则令解得当时，当时，当时取得最小值正四棱锥的表面积的最小值为4.（）一般地，设正棱锥的底面正边形的中心到各边的距离为，高为，则正边形的体积正棱锥的表面积由（）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。解：（）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为，的概率如下表：父本、母本的基因型式相应情况出现的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率子一代基因为的概率父母父母父母父母父母父母父母父母父母子一代的基因型式为的概率为 . 由对称性知子一代的基因型式为的概率为 . 子一代的基因型式为的概率为 若记，则， ，子一代三种基因型式：，的比例为. （）由（）可知子二代的基因型式为，的比例为，其中 ，.由，可得，.故子二代三种基因型式，的比例为，与子一代基因型式的比例相同. 15解法一： （）令，代入化简得 由于等式对所有成立，可知解得 令，代入，化简得所以存在使得 （）令注意到，由（）知， 化为可知从而统一写为从而有 解法二：（）同解法一，可求出 取则所以 （）由， 得 （1） 把（1）式两边都加上2得： （2） 把（1）式两边都减去2得： （3） 若存在，使，由（3）可知 与矛盾 所以不存在，使 （2）式除以（3）式得 因为 所以所以所以 所以 解法三：（）由解法一得， 由 （1） 易看出（1）式中即得所以存在，即（）用数学归纳法（1）当时，显然成立（2）易得，（）假设当时，命题成立即则当时，当时，当时，只需证即证即证即证即证即，而此式是假设成立的所以（2）成立由（1），（2）可知，原命题成立2011年“华约”自主招生试题解析一、选择题1.设复数z满足|z|0）,使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在P F1 F2中，E为PF1上一点，PE PF2，E F1 2a，F1 F2 2c，求.设PE PF2 EF2 x，F F2 ， ，.E F1 F2为等腰三角形，于是，.FEPF12aP2cF22x(II) 此解法可能有误15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率.(I)求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列 pn的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列 pn的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.分析与解：(I)显然p1p21，；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故.(II)共分三种情况：如果第n次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面的概率；如果第n次出现正面，第n1次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是；如果第n次出现正面，第n1次出现正面，第n2次出现反面，那么前n次不出现连续三次正面和前n3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是.综上，.（），(III)由(II)知，（），有（）所以时，pn的单调递减，又易见p1p2p3p4.时，pn的单调递减，且显然有下界0，所以pn的极限存在.对两边同时取极限可得.其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.2012年“华约”自主招生试题解析2012年自主招生华约联考数学试题解答（前4题）畅销5年，备考首选各选所需，全程导航自主招生三大系列备考指南系列 全国重点高校自主招生备考指南高一、高二基础版从高一开始行动起来！专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。全国重点高校自主招生备考指南华约+卓越联盟版全国重点高校自主招生备考指南北约版（含复旦千分考）政策、选校、笔试、面试，一本全搞定！细致分析政策信息，解答历年考生的常见问题教你锁定目标高校，汇编盟内高校的关键信息参照历年真题的题型、知识分布、难度范围，编制仿真模拟卷，供你冲刺练兵指点面试要津，列举面试真题、模拟题，助你顺利闯过最后关卡高效备考系列 名牌大学自主招生高效备考(高三学生适用)为优秀高中生量身定制，分学科深入导航分学科侧重补充中学教材上未涉及的但在自主招生笔试中经常考到的重要知识以清华北大复旦交大等校的历年考题为例展示这些知识和原理的运用辅以一线教师精选的试题供参加自主招生考试的学生训练使用同步辅导系列重点推荐新书 名牌大学自主招生同步辅导(高一、高二学生适用)按照学科，又分上下册 每册书大体按小专题(讲)编写，次序与学校教学内容的次序大体相同，上册内容紧扣高一教材，下册内容紧扣高二教材。每个专题都包含以下部分：知识归纳将高考教材中已有的相关知识作简要总结，重点突出教材中不太讲或略讲的，但自主招生中常考的知识内容。并做到每个知识点都配有相应的例题，以加深学生对这部分知识的理解。真题精析主要选取与本专题知识相关的一些名校自主招生试题，通过相应的分析和点评，让学生体会到自主招生在知识和能力两方面是怎样考查学生的。巩固练习结合本专题的知识内容选取若干练习题供学生复习巩固应用，题目分A、B两级，难度有所区分。配有答案与提示，方便学生使用。序号书名作者1名牌大学自主招生高效备考数学范端喜2名牌大学自主招生高效备考物理张大同 范小辉3名牌大学自主招生高效备考化学施华4名牌大学自主招生高效备考英语刘骁5全国重点高校自主招生备考指南（高一、高二基础版）高三教育工作室6高考导航全国重点高校自主招生备考指南（高三冲刺版）（华约+卓越联盟版）高三教育