2013年高考试题——数学理(四川卷)有答案.doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)第卷1至2页,第卷3至4页,共4页考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上大题无效满分150分考试时间120分钟考试结束后,将本试题卷和答题卡上一并交回第卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1设集合A=x|x+2=0,集合B=x|x24=0,则AB= ( )(A)2 (B)2 (C)2,2 (D) 2如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( )(A)A (B)B (C)C (D)D正视图侧视图俯视图3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( )(A)(B)(C)(D)4设xZ,集合A是奇数集,集合B是偶数集若命题p:xA,2xB,则( )22xOy(A)p: xA,2xB (B) p:xA,2xB (C) p:$xA,2xB (D) p:$xA,2xB5函数f(x)=2(x+)(0,)的部分图象如图所示,则的值分别是( )(A)2, (B)2, (C)4, (D)4,6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是( )xOy(A)xOy(B)xOy(C)xOy(D)(A) (B) (C)1 (D)7函数y=的图象大致是( )8从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到ab的不同值的个数是( )(A)9 (B)10 (C)18 (D)209节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )(A) (B) (C) (D)10设函数f(x)= (aR,e为自然对数的底数)若曲线y=x上存在(x,0y0)使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是( )(A)1,e (B)e11,1 (C)1,1+e (D) e11,e+1 第二部分 (非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚答在试题卷上无效二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分11二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是_(用数字作答)12在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点),+=,则=_13设2=,(,),则2的值是_14已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x24x,那么,不等式f(x+2)b0)的两个焦点分别为F1(1,0), F2(1,0),且椭圆C经过点P(,)()求椭圆C的离心率；()设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程21(本小题满分14分)已知函数f(x)=,其中a是实数设A(x1,y1), B(x2,y2)为该函数图象上的两点,且x1x2()指出函数f(x)的单调区间；()若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2b,则AB,故B=,则B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c225c(),即c2+6c7=0解得c=1或c=7(舍去)开始输入xx为偶数x能被3整除y=3结束是是否否y=1y=2输出y故向量在方向上的投影为|B=cB=. 12分18. 评析:本小题主要考查算法与程序框图、古典概率、独立重复试验、随机变量的分布列、数学期望、频数、频率等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力,考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解析:()变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出的y=1,故P1=;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出的y=2,故P2=;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出的y=3,故P3=.输出y的值为1的概率是,输出y的值为2的概率是,输出y的值为3的概率是.3分.() 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为1的频率甲乙比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. 7分()随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.则B(3,).P(=0)=C30()0()3=,P(=1)=C31()1()2=,P(=2)=C32()2()1=,P(=3)=C33()3()0=.故的分布列为0123P所以,E=0+1+2+3=1,即的数学期望为1. 12分19.评析:本小题主要考查基本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力DABCPA1B1C1D1lMNlEF解析:()如图,在平面ABC内过点P作直线l/BC,l平面A1BC,BC平面A1BC,由直线与平面平行的判定定理可知,l/平面A1BC.由已知,AB=AC,D是BC的中点,得BCAD,lAD.AA1平面ABC, AA1l.又AD,AA1都在平面ADD1A1内且相交.直线l平面ADD1A1. 6分()解法一:连接A1P,过A作AEA1P于E,过E作EFA1M于F,连接EF.由()知MN平面A1AE,平面A1AE平面A1MN,AE平面A1MN,则A1MAE.A1M平面AEF,则A1MAF.故AFE为二面角AA1MN的平面角(设为).设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,BAC=120,有BAD=60,AB=2,AD=1.又P为AB的中点,AP=,AM=1,在RtDAA1P中,A1P=; 在RtDA1AM中,A1M=.从而AE=,AF=,=,=.故二面角AA1MN的余弦值为. 12分zDxyABCPA1B1C1D1lMNl解法二:D,D1分别是BC,B1C1的中点,DD1/AA1,又AA平面ABC,AA1平面A1B1C1,则DD1平面A1B1C1,再由AB=AC可得A1B1=A1C1,D1是B1C1的中点,A1D1B1C1.则以D1为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.P是AD的中点,M,N分别是AB,AC的中点.设AA1=1,则A1(1,0,0),A(1,0,1),B(0,1),M(,1),N(,1),=(,1),=(0,0,1),=(0,0).设平面AA1M的一个法向量为=(x1,y1,z1),则 ,取y1=1可得x1=, =(,1,0).同理可求得平面A1MN的一个法向量为=(2,0,1)=.故二面角AA1MN的余弦值为. 12分20. 评析:本小题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、转化与化归、分类与整合等数学思想,并考查思维的严谨性.解析:()由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,a=,又由已知,c=1,椭圆的离心率e=. 4分()由()知,椭圆C的方程为+y2=1, 设Q(x,y).()当直线l与x轴垂直时,M(0,1),N(0,1),此时点Q的坐标为(0,2).() 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2,则|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22, |AQ|2=(1+k2)x2,由=+,得=+,即=+=, 将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 由D=(8k)24(2k2+1)60,得k2.由可知,x+x=,xx=, 代入并化简得k2=. 点Q在直线y=kx+2上, k=, 代入并化简,得10(y2)23x2=18.由及k2,可知0x2,即x(,0)(0,).又(0,2)10(y2)23x2=18, 故x(,).由题意,Q(x,y)在椭圆C内,1y1,又由10(y2)2=3x2+18有(y2)2,), 则y(,2.从而,点Q的轨迹方程为10(y2)23x2=18,其中x(,), y(,2. 13分21.评析:本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想.解析:()函数f(x)的单调递减区间为(,1), 单调递增区间为(1,0),(0,+). 3分()由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=1.当x0时,=2x+2x1x20,( 2x1+2)(2x2+2)=12x1+20.因此x2x1=(2x1+2)+ 2x2+2=1,当且仅当(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=,x2=时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2x1的最小值为1. 7分()当x1x2x10时, , x10x2.当x10时,函数f(x)在点B处的切线方程为yx2=(xx2),即y=x+x21.两切线重合的充要条件是 由及x10x2知1x10.由得a= x12+1=x12(2x1+2)1.令h(x1)=x12(2x1+2)1(1x10),则h(x1)=2x1h(0)=21,a21,又当x1(1,0)且趋近于1时