2013年高考试题——理科数学(广东卷) Word版含答案.doc

绝密启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则A B C D2. 定义域为的四个函数，中，奇函数的个数是A4 B3 C2 D13. 若复数满足，则在复平面内，对应的点的坐标是A B CD4. 已知离散型随机变量的分布列为123则的数学期望A B2 C D3图1正视图俯视图侧视图221115. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是A4 B C D66. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若，则B若，则 C若，则D若，则7. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，离心率等于，则的方程是ks5uA B C D8. 设整数，集合. 令集合且三条件，恰有一个成立. 若和都在中，则下列选项正确的是A， B，C， D，是图2输出结束否输入开始二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9. 不等式的解集为 .10. 若曲线在点处的切线平行于轴，则 .11. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的值为 .12. 在等差数列中，已知，则 .13. 给定区域：. 令点集，是在上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定 条不同的直线.图3（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的参数方程为（为参数），在点（1,1）处的切线为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于. 若，则 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数，.（1）求的值；（2）若，求.17.（本小题满分12分）图41 7 92 0 1 53 0某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，为的中点. 将沿折起，得到如图6所示的四棱椎，图6图5其中.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，. （1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.20.（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点.（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值.21.（本小题满分14分）ks5u设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在上的最大值.2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案DCCABDBB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（9 13题）9. 10. 11. 7 12. 20 13.6（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14.（填或也得满分） 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数，.ks5u（1）求的值；（2）若，求.16. 解：（1）（2）因为，所以所以所以17.（本小题满分12分）图41 7 92 0 1 53 0某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.17. 解：（1）样本均值为（2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人，所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件，所以，即恰有1名优秀工人的概率为18.（本小题满分14分）如图5，在等腰直角三角形中，分别是，上的点，为的中点. 将沿折起，得到如图6所示的四棱椎，图6图5其中.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结，因为在等腰直角三角形中，所以在中，同理得因为， 所以， 所以 所以， 所以平面（2）方法一：过点作的延长线于，连接 因为平面 根据三垂线定理，有 所以为二面角的平面角 在中， 在中，所以所以二面角的平面角的余弦值为方法二： 取中点，则以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系 则 是平面的一个法向量设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以是平面的一个法向量设二面角的平面角为，且所以所以二面角的平面角的余弦值为19.（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，. （1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.19. 解：（1）当时，解得（2） 当时， 得整理得，即，当时，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列所以，即所以数列的通项公式为，ks5u（3）因为（）所以20.（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中，为切点.（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）当点在直线上移动时，求的最小值.20. 解：（1）焦点到直线的距离，解得 所以抛物线的方程为（2）设，由（1）得抛物线的方程为，所以切线，的斜率分别为，所以: : 联立可得点的坐标为，即，又因为切线的斜率为，整理得直线的斜率所以直线的方程为整理得，即因为点为直线上的点，所以，即所以直线的方程为（3）根据抛物线的定义，有，ks5u所以由（2）得，所以 所以当时，的最小值为21.（本小题满分14分）设函数.（1）