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第一章 导数及其应用综合检测一、选择题1函数yx|x(x3)|1()A极大值为f(2)5,极小值为f(0)1B极大值为f(2)5,极小值为f(3)1C极大值为f(2)5,极小值为f(0)f(3)1D极大值为f(2)5,极小值为f(3)1,f(1)3答案B解析yx|x(x3)|1yx变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,3)3(3,)f(x)000f(x)无极值极大值5极小值1f(x)极大f(2)5,f(x)极小f(3)1故应选B.2(2009安徽理,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()Ay2x1 Byx Cy3x2 Dy2x3答案A解析本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式f(x)2f(2x)x28x8,f(2x)2f(x)x24x4,f(x)x2,f(x)2x,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2,切线方程为y12(x1),y2x1.3设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x0,且g(3)0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3,0)(3,) B(3,0)(0,3) C(,3)(3,) D(,3)(0,3)答案D解析令F(x)f(x)g(x),易知F(x)为奇函数,又当x0,即F(x)0,知F(x)在(,0)内单调递增,又F(x)为奇函数,所以F(x)在(0,)内也单调递增,且由奇函数知f(0)0,F(0)0.又由g(3)0,知g(3)0F(3)0,进而F(3)0于是F(x)f(x)g(x)的大致图象如图所示F(x)f(x)g(x)0)(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1上 的最大值为,求a的值解析函数f(x)的定义域为(0,2),f (x)a,(1)当a1时,f (x),所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2);(2)当x(0,1时,f (x)a0,即f(x)在(0,1上单调递增,故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a,因此a.9(本题满分12分)求曲线y2xx2,y2x24x所围成图形的面积解析由得x10,x22.由图可知,所求图形的面积为S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx.因为2xx2 , 2x24x,所以S4.10设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2,f(2)处与直线y8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间与极值点分析考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想解析(1)f(x)3x23a.因为曲线yf(x)在点(2,f(2)处与直线y8相切,所以即解得a4,b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0,函数f(x)在(,)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点当a0时,由f(x)0得x.当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(,)时,f(x)0,函数f(x)单调递增此时x是f(x)的极大值点,x是f(x)的极小值点11已知函数f(x)x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当x1时,x2lnx0,f(x)x,故f(x)0, f(x)的单调增区间为(0,)(2)设g(x)x3x2lnx, g(x)2x2x,当x1时,g(x)0, g(x)在(1,)上为增函数,g(x)g(1)0, 当x1时,x2lnxx3.12设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x, f(x)m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根,求a的取值范围分析本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题解析(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)因为x(,)f(x)m,即3x29x(6m)0恒成立所以8112(6m)0,得m,即m的最大值为.(2)因为当x0;当1x2时,f(x)2时f(x)0.所以当x1时,f(x)取极大值f(1)a,当x2时,f(x)取极小值f(2)2a.故当f(2)0或f(1)0时,方程f(x)0仅有一个实根,解得a.13已知函数f(x)x3ax21(aR)(1)若函数yf(x)在区间上递增,在区间上递减,求a的值;(2)当x0,1时,设函数yf(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为,若给定常数a,求tan的取值范围;(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象与函数yf(x)的图象恰有三个交点若存在,请求出实数m的值;若不存在,试说明理由解析(1)依题意f0,由f(x)3x22ax,得322a0,即a1.(2)当x0,1时,tanf(x)3x22ax32.由a,得.当,即a时,f(x)max,f(x)minf(0)0.此时0tan.当(1,),即a(3,)时,f(x)maxf(1)2a3,f(x)minf(0)0,此时,0tan2a3.又0,),当3时,0,arctan(2a3)(3)函数yf(x)与g(x)x45x3(2m)x21(mR)的图象恰有3个交点,等价于方程x
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