“一例三练”导数及其应用.doc

本节编者：任志瑜导数及其应用“一例三练”任志瑜典例1：学案第38页题型一： 用导数定义求函数yf(x)在x1处的导数解答：yf(1x)f(1)， .f(1).拓展：让学生真正理解导数定义的内涵1.从x1到x2的平均变化率练习1：一质点的运动方程是，则在一段时间内相应得平均速度为：（ ） 剖析导引：提问学生：若求时间段内的平均速度怎样求？答案不变吗？2.对平均变化率求极限得导数练习2：（ ）A. B. C. - D. 剖析导引：运算式子保持三个一致：分子中引起函数值变化的变量增量为、所以分母中体现平均变化率的增量也要是（若不是，就得采取恒等变形的方式变出来）、求极限趋于无穷小的变量也要是。3.导数的物理意义练习3. 一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为st3t22t，那么速度为零的时刻是()A0秒 B1秒末 C2秒末 D1秒末和2秒末剖析导引：由导数定义知：对位移求导数即得瞬时速度。4.导数的几何意义练习4. 若函数上不是单调函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）ABC D 剖析导引：由导数的几何意义曲线某一点处切线得斜率。图3对应的导数是一个常函数，所以排除B。图1对应的导函数是一个单调递增函数，图2对应的导函数是一个单调递减函数，图4对应的导函数先增后减，所以选D.例5若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+-9都相切，则a=（ ） (A)或 (B)或 (C) (D)或剖析导引：此高考题在考查学生过点切线的常规解法：设y=x3切点A(x1, x13),由切线斜率k=y，=3x12,所以切线为y- x13=3x12(x- x1),而已知该切线过点(1,0)，所以- x13=3x12(1- x1)，由此解得x1=0与3/2.，对于x1=0得到k=0的过点(1,0)的直线与y=x3的公共点为（0，0）。这时学生会质疑：它是y=x3的切线吗？它与之前所学的直线与圆锥曲线相切的几何直观不一致了。这里要引导学生用曲线上某一点的切线由过该点的割线另一点在该点附近运动的极限位置得切线的定义法知，y=0是满足定义的。也就是说y=0是y=x3的过点(1,0)的切线。例6：已知函数，的导函数的图象如下图，那么，的图象可能是（ ）剖析导引：由题干导数图像都在X轴上方知原函数，都是单调递增的。由递减知是先上升的快（陡峭）后上升的慢（平缓），由递增知先上升的慢（平缓）后上升的快（陡峭），所以排除A、C；由与的图像在X0处相交，即=，也就是说两函数，在X0处的切线斜率相等，即在X0处的切线平行。排除B,所以选D典例2：学案第38页题型三： 已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程解答：(1)yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率ky|x2224，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，x03)，则切线的斜率ky|xx0x02. 切线方程为y(x03)x02(xx0)即yx02xx03. 点P(2,4)在切线上，42x02x03，即x033x0240. x0383x02120，即(x02)2(x01)0.解得x01，或x02. 故所求切线方程为4xy40，或xy20.(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为kx021，解得x01，故切点为(1，)，(1,1)故所求切线方程为yx1，或y1x1，即3x3y20，或xy20.拓展：强化导数应用的基本题型，让学生准确辨析与熟练掌握此类问题的解法。老师将此题作为课堂典型例题进行重点讲解，特别注意配以图像说明曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切的区别。以实际例子让学生明白过点的两条切线是怎样相切的。1. 首先从文字表述中清晰判断是求“在点的切线”还是“过点的切线”。2.求“在点的切线”方法求出函数在该点的导数值即得到切线斜率，点斜式写切线即可。练习1：若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（A） （A）64 （B）32 （C）16 （D）83.以该例引导学生求“过点的切线”类型题的一般方法与规范步骤（核心：设出切点、构建含切点横标的方程或方程组）。练习2(学案221页第10题). 已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切，且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切，且切点异于P的直线方程解析：(1)由f(x)x33x，得f(x)3x23，过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率f(1)0，所求直线方程为y2.(2)设过P(1，2)的直线l与yf(x)切于另一点(x0，y0)，则f(x0)3x023.又直线过(x0，y0)，P(1，2)，故其斜率可表示为，又3x023，即x033x023(x021)(x01)，解得x01(舍去)，或x0，故所求直线的斜率为k3(1).直线l的方程为y(2)(x1)， 即9x4y10.练习3.直线是曲线的一条切线，则实数 练习4.已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解析：（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增极大值减极小值增由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即剖析导引：准确解决本题的关键是：将条件“过点可作曲线的三条切线”等价转化为讨论函数的图象特征（有三个零点的充要条件）。用导数解决函数单调、极值等问题，一定要引导学生“步骤规范、表格齐全”典例：（2009山东文满分12分）已知函数,其中.（）当满足什么条件时,取得极值?（）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去),当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 函数与导数要点及类型问题题型1 关于对应、函数与数列、不等式例1 A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：对任意，都有 ； 存在常数，使得对任意的，都有，（）设， 证明：； () 设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的; () 设,任取,令证明：给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式【解析】 （）对任意,， 故；对任意的，（立方差公式），所以0,令常数，则，所以。()反证法:设存在两个使得,，则由，得，所以矛盾，故结论成立。() ，所以；（由递推传递得到） 于是+题型2 关于抽象函数与解析式、有关性质探讨例2 已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有 （）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值。【简析】（）。（）令得 因为为常数，所以令为常数； 令，则； 即当时（为常数）。 同理，当时令得； 令得 因为为常数，所以令为常数； 即当时（为常数）。 所以解答：令，则。假设时，则，而，即成立。令，假设时，则，而，即成立。成立。（）当时， 在（0，）上递减；在递增； 故有极小值为。题型3 三角与导数 例3 设函数.（）证明,其中k为整数；（）设为的一个极值点，证明；（）设在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明.【简析】（）证略；（）证明： ，显然，对于满足上述方程的x有，上述方程化简为如图所示，此方程一定有解， 由（）证明：即在第二或第四象限内. 由式，在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：xx0的符号k为奇数0+k为偶数+0所以满足的正根x0都为的极值点.由题设条件，的全部正实根且满足 那么对于n=1,2, 由于，则由于由式知，必在第二象限，即 综上，评注：本题考查方程的正根，要通过数形结合转化为考察函数与图像交点情况，在充分考察图像特征的基础上得出的范围（而不是按常规方法直接求出极值点），进而缩小范围得到所证结论，这种思路新颖别致，不可多得！题型4 导数（一）存在性与恒成立型问题 【例4】已知函数.（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.【解析】（）当时，函数， ， 从而曲线在点处的切线方程为，即（），令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.由题意0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需，即，在内为增函数，正实数的取值范围是. （）【法1】在上是减函数，时；时，即；当0时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数 当时，因为，所以0，0， 此时，在内是减函数故当时，在上单调递减，不合题意；当01时，由，所以又由（）知当时，在上是增函数， ，不合题意； 当时，由（）知在上是增函数，又在上是减函数，故只需，而，即， 解得 ，所以实数的取值范围是.题型5 导数（二）最值问题 【例5】已知函数，其中（）求函数的零点；（）讨论在区间上的单调性；（）在区间上，是否存在最小值？若存在求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】（）解，得，所以函数的零点只有一个，为. （）函数在区域上有意义， 令，得，因为，所以，. 当在定义域上变化时，的变化情况如下：所以在区间上是增函数，在上是减函数. （）在区间上存在最小值. 法1 证明：由（）知是函数的唯一零点，因为，所以， 由知，当时， 又在上是减函数，且，所以在区间上的最小值为，且， 所以在区间上的最小值为. 法2 由（）知是函数的唯一零点，又知在区间上是增函数， 在区间即上是减函数. 考察“端点值”有：且即图像在x轴上方；而（如图），因此，在区间上的最小值为题型6 导数（三）切线与解图问题【例6】已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：【解析】（1）求函数的导数；曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000增极大值减极小值增由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即【评注】准确解决本题的关键是：将条件“过点可作曲线的三条切线”等价转化为讨论函数的图象特征（有三个零点的充要条件）。【总结】用导数方法讨论“函数与的图象交点个数”问题，一般步骤如下：1. 构造函数；2. 求导，研究的单调性与极值（必要时研究函数图象端点的极限情况）；3. 画出函数的图象（示意