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矩阵论 矩阵论 M2012A M2012A 一 18 分 一 18 分 填空 1 矩阵 3001 1111 1021 1001 A的 Jordan 标准 形为 J 2 设矩阵nm n n n L MMM L L 21 21 21 A 则 1 A F A A 3 设 2cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 00 2sin sin ttttttt ttttttt t tA 则 A 4 已知的 Moore Penrose 逆为 则 nm A A A A A 2 3 5 设是阶 非 零 正 交 投 影 矩 阵 则 Am n R T 1 1 1 Lx 2 Ax 6 设 4 维线性空间的一个基为V 4321 又设上的线性变换VT满足 43211 2 T 43212 2 T 3213 2 T 43214 233 T 则T的核空间 N T的维数为 它的一个基为 二 10 分 二 10 分 设 nm nmij a C A 1 试利用矩阵范数的定义直接证明下列实值函数 是上的矩阵范数 nm C m i ij nj a 1 1 1 maxA 2 试举例说明该矩阵范数与向量 范数不相容 三 15 分 三 15 分 已知 211 121 221 A 2 1 1 e t b t 3 2 1 0 x 1 求 tA e 2 用矩阵函数方法求微分方程 d d ttt t bxAx 满足初始条件 0 x的解 四 10 分 四 10 分 用 Householder 变换求矩阵 0010 6120 4321 0220 A 的 QR 分解 五 10 分 五 10 分 用 Gerschgorin 定理隔离矩阵 9609 12002 01i7i 110i A 的特征值 要求画图表示 六 15 分 六 15 分 已知 111 021 201 021 111 A 0 2 2 2 0 b 1 求的满秩分解 2 求A A 3 用广义逆矩阵方法判断线性方程组bxA 是 否有解 4 求线性方程组bxA 的极小范数解或者极小 范数最小二乘解 要求指出是哪种解 0 x 0 x 七 15 分 七 15 分 设欧氏空间 22 R 内积运算是通常 的 中的线性变换为 XDDXX T 任意 22 RX 01 10 D 1 证明T是对称变换 2 求 22 R的一个标准正交基 使T在该基下的 矩阵为对角矩阵 八 7 分 八 7 分 设T是欧氏空间V的线性变换 S是 的一个变换 又设 V ST 任意V 其中 T表示 T与
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