首届全国大学生数学竞赛赛区赛试题与解答(非数学类).pdf

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 非数学类 2009 一 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 计算 yx yx x y yx D dd 1 1ln 其中区域由直线与两 坐标轴所围成三角形区域 D1 yx 2 设是连续函数 且满足 则 xf 2 0 2 2d 3 xxfxxf xf 3 曲面2 2 2 2 y x z平行平面022 zyx的切平面方程是 4 设函数由方程确定 其中具有二阶导数 且 则 xyy 29ln yyf exe f1 f 2 2 d d x y 二 5 分 求极限 x e nxxx x n eee lim 2 0 其中n是给定的正整数 三 15 分 设函数连续 且 xf 1 0 d txtfxgA x xf x lim 0 A为常数 求 并讨论在处的连续性 xg xg 0 x 四 15 分 已知平面区域 0 0 yxyxD 为的正向边界 试证 LD 1 L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 2 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe 五 10 分 已知 是某二阶常 系数线性非次齐微分方程的三个解 试求此微分方程 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 六 10 分 设抛物线过原点 当cbxaxyln2 2 10 x时 又已知该抛 物线与 0 y x轴及直线所围图形的面积为1 x 3 1 试确定 使此图形绕cba x轴旋转一周而成 的旋转体的体积最小 七 15 分 已知满足 且 xun 2 1 1 nexxuxu xn nn n e un 1 求函 数项级数之和 1 n n xu 八 10 分 求时 与等价的无穷大量 1x 0 2 n n x 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷 非数学类 2009 一 填空题 每小题 5 分 共 20 分 1 计算 yx yx x y yx D dd 1 1ln 其中区域由直线与两 坐标轴所围成三角形区域 D1 yx v解 令xuyx vu 则yvx vuvuyxdddd 11 10 detdd vu u vuuu yx yx x y yx DD dd 1 lnln dd 1 1ln 1 0 2 1 000 d 1 ln 1 ln d dln 1 d 1 ln u u uuuu u uu uvv u u v u uu uu 1 0 2 d 1 u u u 令ut 1 则 2 1tu dt2dtu 422 21ttu 1 1 1 2 tttuu 0 1 42 d 21 2 ttt 1 0 42 d 21 2ttt 15 16 5 1 3 2 2 1 0 53 ttt 2 设是连续函数 且满足 则 xf 2 0 2 2d 3 xxfxxf xf 解 令 则 2 0 d xxfA23 2 Axxf AAxAxA24 2 28d 23 2 0 2 解得 3 4 A 因此 3 10 3 2 xxf 3 曲面2 2 2 2 y x z平行平面022 zyx的切平面方程是 解 因平面的法向量为022 zyx 1 2 2 而曲面2 2 2 2 y x z在 处 的 法 向 量 为 00 yx 1 00 00 yxzy y2 yxzx xzx zy 故与 平行 因此 由 1 0000 yxzyxz yx 1 2 2 知 0000 2 2 yyxzx y 00 yxzx2 即 又1 2 00 yx1 1 2 00 zyxz 于是曲面022 zyx在 0000 yxzyx 处的切平面方程是0 1 1 2 2 2 zyx 即曲面2 2 2 2 y x z平行平面 022 zyx的切平面方程是0522 zyx xy 29ln yyf exe 4 设函数由方程确定 其中具有二阶导数 且 则 yf1 f 2 2 d d x y 解法 1 方程的两边对29ln yyf exe x求导 得 29ln yeeyyf x yyf e yf 即 29ln yyf eyxeyyf 0 y 1 x fy 因 故29ln xeeyyyf x 1 即 1 1 yfx y 因此 222 2 1 1 1 d d yfx yyf yfx y x y 32 2 232 1 1 1 1 1 yfx yfyf yfxyfx yf 解法 2 方程取对数 得29ln yyf exe 29lnlnln yxyf 1 方程 1 的两边对x求导 得y x yyf 1 2 即 1 1 yfx y 3 方程 2 的两边对x求导 得y x yyfyyf 2 2 1 4 将 3 代入 4 得 y xyfx yf yyf 222 1 1 将左边的第一项移到右边 得 1 1 1 22 2 yfy yfx yfyf 因此 32 2 1 1 yfx yfyf y 二 5 分 求极限 x e nxxx x n eee lim 2 0 其中n是给定的正整数 解法 1 因 x e nxxx x x e nxxx x n neee n eee 1 lim lim 2 0 2 0 故 nx neee e x e n neee A nxxx x nxxx x 2 0 2 0 lim lim e n n n e n neee e nxxx x 2 1212 lim 2 0 因此 e n A x e nxxx x ee n eee 2 1 2 0 lim 解法 2 因 x neee e n eee nxxx x x e nxxx x ln ln lim ln lim 2 0 2 0 e n n n e eee neee e nxxx nxxx x 2 1212 lim 2 2 0 故 e n A x e nxxx x ee n eee 2 1 2 0 lim 三 15 分 设函数连续 且 xf 1 0 d txtfxgA x xf x lim 0 为常数 求 并讨论在处的连续性 A xg xg 0 x 解 由A x xf x lim 0 和函数连续知 xf0 limlim lim 0 000 x xf xxff xxx 因 故 1 0 d txtfxg0 0 d 0 0 1 0 ftfg 因此 当时 0 x x uuf x xg 0 d 1 故 0 0 1 lim d lim lim 0 0 00 f xf x uuf xg x x xx 当时 0 x x xf uuf x xg x d 1 0 2 2 0 0 0 00 d lim d 1 lim 0 lim 0 x ttf x ttf x x gxg g x x x xx 22 lim 0 A x xf x 22 d 1 lim lim d 1 lim lim 0 2 000 2 00 AA Auuf xx xf x xf uuf x xg x xx x xx 这表明在处连续 x g 0 x 四 15 分 已知平面区域 0 0 yxyxD 为的正向边界 试证 LD 1 L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 2 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe 证 因被积函数的偏导数连续在上连续 故由格林公式知 D 1 yxye y xe x xyeyxe D xy L xy dd dd sinsinsinsin yxee D xy dd sinsin L xy xyeyxedd sinsin yxye y xe x D xy dd sinsin yxee D xy dd sinsin 而关于Dx和y是对称的 即知 yxee D xy dd sinsin yxee D xy dd sinsin 因此 L xy L xy xyeyxexyeyxedddd sinsinsinsin 2 因 1 2 4 2 1 2 2 42 t tt ee tt 故 2 2cos5 2 2cos1 2sin2 2sinsin xx xee xx 由 D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd dd dd sinsinsinsinsinsin 知 D xy LD xyyy yxeeyxeexyeyxedd 2 1 dd 2 1 dd sinsinsinsinsinsin D xx D xx D yy yxeeyxeeyxeedd dd 2 1 dd 2 1 sinsinsinsinsinsin 2 00 sinsin 2 5 d 2 2cos5 d x x xee xx 即 2sinsin 2 5 dd L yy xyeyxe 五 10 分 已知 是某二阶常 系数线性非齐次微分方程的三个解 试求此微分方程 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 解 设 是二阶常系数线性非齐 次微分方程 xx exey 2 1 xx exey 2 xxx eexey 2 3 xfcyyby 的三个解 则和都是二阶常系数线性齐次微分方程 xx eeyy 2 12 x eyy 13 0 cyyby 的解 因此0 cyyby的特征多项式是0 1 2 而0 cyyby的特 征多项式是 0 2 cb 因此二阶常系数线性齐次微分方程为02 yyy 由 2 111 xfyyy 和 xxx exeey 2 1 2 xxx exeey 2 1 42 知 111 2 yyyxf 2 2 42 222xxxxxxxx exeeexeeexe x ex 21 二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx xeeyyy22 六 10 分 设抛物线过原点 当cbxaxyln2 2 10 x时 又已知该抛 物线与 0 y x轴及直线所围图形的面积为1 x 3 1 试确定 使此图形绕cba x轴旋转一周而成 的旋转体的体积最小 解 因抛物线过原点 故cbxaxyln2 2 1 c 于是 2323 dt 3 1 1 0 23 1 0 2 ba x b x a bxax 即 1 3 2 ab 而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为 1 0 22 1 0 22 dt 1 3 2 dt xaaxbxaxaV 1 0 22 1 0 3 1 0 42 dt 1 9 4 dt 1 3 4 dtxaxaaxa 22 1 27 4 1 3 1 5 1 aaaa 即 22 1 27 4 1 3 1 5 1 aaaaaV 令 0 1 27 8 21 3 1 5 2 aaaaV 得 04040904554 aaa 即 054 a 因此 4 5 a 2 3 b 1 c 七 15 分 已知满足 且 xun 2 1 1 nexxuxu xn nn n e un 1 求函 数项级数之和 1 n n xu 解 xn nn exxuxu 1 即 xn exyy 1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 d 1 xxCey nx 即 n x Cey n x 因此 n x Cexu n x n 由 1 1 n Ceu n e n 知 0 C 于是 n ex xu xn n 下面求级数的和 令 11 n xn n n n ex xuxS 则 x e xSexxS n ex exxS x n xn n xn xn 1 1 1 1 1 即 x e xSxS x 1 由一阶线性非齐次微分方程公式知 d 1 1 x x CexS x 令 得 因此级数 的和 0 x CS 0 0 1 n n xu 1ln xexS x 八 10 分 求时 与等价的无穷大量 1x 0 2 n n x 解 令 则因当 2 t xtf 10 x 1 t时 故 0ln2 2 xtxtf t x t t