【上海新教材】2010学年高三数学第5次测验试题 答案.doc

高三数学测验（五）题解杨思源一、填空题：（每题4分，共56分）1、设，已知命题；命题，则是成立的充分不必要条件注意：可证对于任意实数a、b，恒有。2、在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 解：3、函数的定义域是。解：。4、设函数的图像过点，其反函数的图像过点，则等于4.解：a+b=4.5.（06安徽15）、函数对于任意实数满足条件，若则_。解：，。同步训练：（2006年武大）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，并满足，当时，f(x)=x则f(5.5)=( D ).A.5.5 B.-5.5 C.-2.5 D.2.5.6、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 4.解：由柯西不等式可得：。7、设集合，则等于解：8、若集合，则AB等于.9、设集合,则满足的集合B的个数是4。解：B=3,B=3,1,B=3,2,B=3,2,14个。本质上是将元素3添加到A=1,2的所有子集中而得到。10、已知集合U=1,2,3,4,5,6,7, A=2,4,5,7,B=3,4,5,则(uA)(uB)= 1,2,3,6,711、方程的解 2 12、已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， 13、（2006年上海卷理科（12）题）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是_分析：本题是一道含参数的不等式恒成立的范围问题，此乃高考命题的热点难点重点问题。命题者化难为易，创设情景，提供三位同学解决此问题的解题思路，考查考生收集信息，分析问题，处理信息的实践操作能力。事实上，将原不等式变形为：上恒成立，求实数a的取值范围。运用甲同学提供的思路左边函数上的最小值不小于零，因此，只需右边的函数上的最大值不大于零即可。即上恒成立。运用同学乙的思路将上述命题变形为：上恒成立。然后运用同学丙的思路，画出函数的图像，易知函数因此，故。14、同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足，则 （结论用数学式子表示）.和 二、选择题：（每题4分，共16分）15、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ） A. B. C. D. 16、已知函数若则 （ B ）（A）（B）（C）（D）与的大小不能确定解：17、设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ C ）（A）（B）（C）（D）解：（1）恒成立；（2）。（D）运用分析法可证也恒成立。18、有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题： 的充要条件是card= card+ card； 的必要条件是cardcard； 的充分条件是cardcard； 的充要条件是cardcard.其中真命题的序号是 （B ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、三、解答题：（14+14+16+16+18）19、解关于的不等式 ()解：(i)当时，方程化为0解集为(ii)当时，若，即时，解集为若，即时，解集为若，即时，解集为20、已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离. 解法一（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD.（）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD. QBCPADzyxO由（），QO平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）.所以.于是从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由QBCPADOM得.取x=1，得.N所以点P到平面QAD的距离.解法二（）取AD的中点，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连接PN，因为，（或其补角）为异面直线AQ与PB所成的角。连接BN.因为，所以.从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（I）可知，AD平面PQM,所以平面QADPQM,过P作PHQM于 H，则PH平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连接OM，则.又PQ=PO+QO=3，于是。即点P到平面QAD的距离是21、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):()恰好有两家煤矿必须整改的概率;()平均有多少家煤矿必须整改;()至少关闭一家煤矿的概率. 解（）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.();()某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是从而该煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.22、对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解： ()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3, ，第二次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3. 因为当,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得即，（*）于是+ 当为定值时, 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.23、设函数.（1）在区间上画出函数的图像；（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方. 解：（1） 4分 （2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此. 8分由于. 10分 （3）解法一 当时，. ， 12分 . 又， 当，即时，取， . ， 则. 14分 当，即时