2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二讲义新人教A版选修2.doc

12.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)在复合函数中，内层函数ug(x)的值域必须是外层函数yf(u)的定义域的子集2复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yxyuux，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)2cos2x，不能得出(sin2x)cos2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求ysin的导数，设ysinu，u2x，则yxyuuxcosu22cos.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)2x，则f(x)x2.()(2)函数f(x)xex的导数是f(x)ex(x1)()(3)函数f(x)sin(x)的导数为f(x)cosx.()答案(1)(2)(3)2做一做(1)若f(x)2x3，则f(x)_.(2)函数f(x)2sinxcosx，则f(x)_.(3)函数f(x)，则f(x)_.答案(1)2(2)2cosxsinx(3)探究简单复合函数求导问题例1求下列函数的导数(1)y(3x2)2；(2)yln (6x4)；(3)ysin(2x1)；(4)y.解(1)y(3x2)2由函数yu2和u3x2复合而成，yxyuux(u2)(3x2)6u18x12.(2)yln (6x4)由函数yln u和u6x4复合而成，yxyuux(ln u)(6x4).(3)函数ysin(2x1)可以看作函数ysinu和u2x1的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(sinu)(2x1)2cosu2cos(2x1)(4)函数y可以看作函数y和u3x5的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux()(3x5) .拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】求下列函数的导数(1)y；(2)yesinx；(3)ysin；(4)y5log2(2x1)解(1)设yu，u12x2，则y(u)(12x2)(4x)(12x2) (4x) .(2)设yeu，usinx，则yxyuuxeucosxesinxcosx.(3)设ysinu，u2x，则yxyuuxcosu22cos.(4)设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)u(2x1)x.探究复合函数与导数的运算法则的综合应用例2求下列函数的导数(1)yx(x1)(x2)(x0)；(2)ysin2.解(1)yx(x1)(x2)x(x1)(x2)x(x1)(x2)x(x1)(x2)(x1)(x2)x(x2)x(x1)3x26x2.(2)设yu2，usin，2x，则yxyuux2ucos24sincos2sin22sin.解法探究此题有没有其他解法呢？解(1)因为yx(x1)(x2)(x2x)(x2)x33x22x，所以y(x33x22x)3x26x2.(2)y2sinsin2x2sincos2sin.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构；(3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导；(5)善于把一部分表达式作为一个整体；(6)最后要把中间变量换成自变量的函数【跟踪训练2】求下列函数的导数(1)yx；(2)yxcossin.解(1)y(x)xx().(2)yxcossinx(sin2x)cos2xxsin4x，ysin4xcos4x4sin4x2xcos4x.探究导数的综合应用例3设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)由7x4y120得yx3.当x2时，y，f(2)2a.又f(x)a，f(2)a.由得解得故f(x)x.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可利用f(x)上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解【跟踪训练3】已知曲线C：yx33x22x，直线l：ykx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x00)，求直线l的方程及切点坐标解因为直线l过原点，所以直线l的斜率k(x00)，由点(x0，y0)在曲线C上，得y0x3x2x0，所以x3x02.又y3x26x2，所以ky| xx03x6x02.又k，所以3x6x02x3x02，整理得2x3x00.因为x00，所以x0，此时y0，k.因此直线l的方程为yx，切点坐标为.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1下列函数不是复合函数的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)4答案A解析A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数ux，ycosu的复合函数，C中的函数可看作函数uln x，y的复合函数，D中的函数可看作函数u2x3，yu4的复合函数，故选A2函数y(exex)的导数是()A(exex) B(exex)Cexex Dexex答案A解析y(ex)(ex)(exex)3函数f(x)2x2的导数是()Af(x)4x Bf(x)2xCf(x)22x Df(x)2x222x答案C解析由f(x)2x2得f(x)22x，故选C4已知函数f(x)x4ax2bx，且f(0)13，f(1)27，则ab_.答案18解析f(x)4x32axb，由ab51318.5设f(