线性代数第6版第1章课后习题解答.pdf

1 第 1 章 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1 201 1 4 1 183 2 ca c 3 111 2 2 2 4 解 1 201 1 4 1 183 2 4 3 0 1 1 1 1 8 1 4 1 2 1 8 0 1 3 4 2 ca c 3 3 3 3 3 3 3 3 111 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c 2 2 4 3 3 3 2 3 3 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 1 1234 2 4132 3 3421 4 2413 5 13 2n 1 24 2n 6 13 2n 1 2n 2n 2 2 解 1 此排列为标准排列 其逆序数为 0 2 逆序数为 0 1 1 2 4 3 逆序数为 0 0 2 3 5 4 逆序数为 0 0 2 1 3 5 逆序数为 n 1 n 2 0 1 2n n 1 6 逆序数为 2 4 6 2 n 1 n n 1 3 写出四阶行列式中含有 11 23的项 解 此行列式中含有 11 23的项为 11 23 32 44 1324 的逆序数为 1 11 23 34 42 1342 的 逆序数为 2 4 计算下列各行列式 1 4124 1202 10520 0117 2 2141 3 121 1232 5062 3 2 4 111 5 100 1 10 0 1 1 00 1 6 1234 1341 1412 1123 解 1 D 12 rr 1202 4124 10520 0117 21 31 4 10 rr rr 1202 0 72 4 0 152 20 0117 42 rr 1202 0117 0 152 20 0 72 4 32 42 15 7 rr rr 1202 0117 001785 00945 0 2 D 21 rr 2141 5062 1232 5062 0 3 D 1 2 3 ra rd rf 1 2 3 cb cc ce 111 1 11 11 1 21 31 rr rr 111 002 020 4 4 D 23 rr 111 2 rabc 111 111 0 5 D 12 rar 01 0 1 10 0 1 1 00 1 1 c按 展开 1 1 3 1 0 1 1 0 1 32 cdc 1 1 1 0 10 3 r按 展开 1 1 5 1 11 1 1 6 D 21 31 41 rr rr rr 1234 011 3 02 2 2 0 1 1 1 2 1234 011 3 0 111 0111 42 32 rr rr 2 1234 011 3 002 2 0004 2 8 16 5 求解下列方程 1 12 1 2 11 11 1 0 2 1111 2 2 2 2 3 3 3 3 0 其中 a b c 互不相等 解 3 1 左式 12 1 3 rr rx 3 110 2 11 11 1 21 cc 3 100 2 11 12 1 3 1 1 2 1 3 2 3 于是方程的解为 1 3 2 3 3 3 2 方程左式为 4 阶范德蒙德行列式 由计算公式可得 c 0 因 a b c 互不相等 故方程的解为 1 2 3 6 证明 1 2 2 2 2 111 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2 2 3 2 0 4 1111 2 2 2 2 4 4 4 4 5 100 0 10 00 1 0 1 2 3 3 3 2 2 1 0 证 1 左式 13 23 cc cc 2 2 2 001 2 2 212 001 12 2cc 2 2 012 001 3 右式 2 将左式按第 1 列拆开得 左式 2 2 3 3 3 3 右式 4 3 左式 43 32 21 cc cc cc 22 12 32 5 22 12 32 5 22 12 32 5 22 12 32 5 43 32 cc cc 22 122 22 122 22 122 22 122 0 右式 4 左式 2 43 32 21 ra r rar rar 1111 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 c 按 展开 各列提取公因子 111 2 2 2 21 31 c c c c 100 2 2 2 2 2 1 r按 展开 11 2 2 2 2 右式 5 按最后一行展开 左式 0 100 10 0 1 1 00 0 10 0 1 2 10 0 0 00 1 3 10 0 1 00 0 1 2 2 3 3 右式 8 计算下列各行列式 为 k 阶行列式 1 1 1 a a 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都是 0 2 xaa axa aax 5 3 1 111 1 1 1 111 nnn nnn aaan aaan aaan 提示 利用范德蒙德行列式的结果 4 2 11 11 nn nn ab ab cd cd 其中未写出的元素都是 0 5 111 222 1 1 1 nnn aaa aaa aaa 6 det 其中 7 1 2 111 111 111 n a a a 其中 1 2 0 解 1 n1 rr 1 11 a aa 1n cc 11 01 a a 2 2 1 2 12 n r rr 111 1 axa xna aax 1 2 i rar in 111 0 1 xa xna xa 1 1 3 将所给的行列式先上下翻转 再左右翻转 可得 1 1 1 111 1 1 n nn anana anana 1 1 1 11 1 6 4 2 11 11 nn nn ab ab cd cd 11 11 11 11 00 00 00 00 nn n nn n ab ab cd a cd d 按第一行 展开 00 00 00 1 11 11 11 11 12 c dc dc ba ba b n nn nn n n 2222 nnnnnn a d Db c D 都按最后一行展开 由此得递推公式 222 nnnnnn DcbdaD 另一方面 归纳基础为 1111 11 11 2 cbda dc ba D 利用这些结果 递推得 2 1 1 1 1 1 5 将所有的行 第一行除外 都加到第一行 并提取第一行的公因子 得 1 1 222 111 1 1 nnn aaa aaa 21 1n cc cc 1 1 2 100 10 01 n a a 1 1 6 0121 1012 2103 1230 n n n nnn 1 12 21 nn nn rr rr rr 0121 1111 1111 11111 nn 7 1 2 1 n n nn cc cc cc 1231 0221 0021 0001 nnnn 1 1 1 2 2 7 1 2 i rr in 1 12 1 111 n a aa aa 1 1 2 i i a cc a in 1 1 2 1 111 0 0 n i i n a a a a 1 2 1 1 1 9 设D 31 12 513 4 201 1 1 53 3 D的 元的代数余子式记作 求 31 3 32 2 33 2 34 解 31 3 32 2 33 2 34等于用 1 3