圆心角的性质.ppt

思考下列问题 并从中找出解决问题所依据的知识点 1 如图1 已知AB AC为 O弦 OM AB于点M ON AC于点N BC 4 那么MN 2 如图2 AB是 O的直径 C D是BE的三等分点 AOE 60 则 COE 3 如图3 ABC是等边三角形 动点P在劣弧AB上 不与A B重合 运动 则 BPC 4 如图4 ABC的顶点A B C都在 O上 C 30 AB 2 则 O的半径是 5 如图5 点A B C在 O上 1 如果AB为 O直径 A 30 则 B 2 如果 C 90 则AB为 O的 A O M N B C 图1 图2 A B C P 图3 O A B C 图4 A E D C B 0 A B C 图5 o 圆的相关性质 1对称性2垂径定理及其推论垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分这条弦所对的两条弧 推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分这条弦所对的两条弧 3弧 弦 圆心角关系 在同圆或等圆中 弧 弦 圆心角三组量中 只要其中一组量相等 那么它们所对应的其余两组量也分别相等 4弧与圆周角的关系 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 5圆心角与圆周角的关系 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 6直径与圆周角的关系 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90度的圆周角所对的弦是直径 轴对称性 圆是轴对称图形 过圆心的每一条直线都是它的对称轴 中心对称性 圆是中心对称图形 圆心是它的对称中心 牵线搭桥 话圆弧 弧是圆中的无名英雄 与圆有关的计算和证明问题 表面上与弧没有直接关系 但沟通圆周角 圆心角 弦等元素间的联系 实现从已知向未知的转化离不开弧的牵线搭桥 如图所示 某居民区有一处圆形下水道破裂 修理人员准备更换一段新管道 现量得污水水面宽度为60cm 水面到管道顶部的距离为10cm 问修理人员应准备内径是多少的管道 解 设点O为圆心 过点O作OC AB于点C 交 O于点D 连结OA 由题意可知 AB 60cm CD 10cm OD是半径 且OD AB AB 60cm AC 1 2AB 30cm设 O的半径为xcm在Rt AOC中AC OC OA即30 x 10 x解得 x 50 cm 所以 O的内径为100cm 答 修理人员应准备内径是100cm的管道 A B O C D 2 2 2 2 2 2 垂径定理展风采 方法点睛 在遇到有关弦长 半径 弦心距 圆心到弦的距离 或拱形高等问题时要想到用垂径定理去解决 常作的辅助线是过圆心作弦的垂线和连接圆的半径 进而利用垂径定理构造直角三角形 2 如图 在RT ABC中 ABC 90 D是AC的中点 O经过A B D三点 CB的延长线交 O于点E 求证 AE CE 解 连结DE ABC 90 CBE 180 ABE 90 AE是 O的直径 ADE 90 ED AC又 点D是AC的中点 ED是AC的中垂线 AE CE O A B E C D 直径用的好解题我领跑 方法点睛 直径所对的圆周角是直角 当圆中有直径时 常常要构建直径所对的圆周角 从而将问题转化到直角三角形中 利用直角三角形的性质解题 简记为 见直径 找直角 三综合提伸训练 如图 点A B C D都在 O上 OC AB ADC 30 1 求 BOC的度数 2 求证 四边形AOBC是菱形 O A B C D 已知 如图 AB为 O的直径 AB AC BC交 O于点D AC交 O于点E BAC 45 1 求 EBC的度数 2 求证 BD CD A B C D E O 四总结 1弧是沟通圆心角 圆周角 弦等元素间联系的桥梁 2如图 半径r 弦心距d 弦长a 拱形高h四个量中 知道任意两个量就可以求出其他量 方法 作弦心距和连结半径 依据