2020年高考数学（理）大题专题解析与训练《选考内容》

选考内容一、坐标系与参数方程（2019山东高考模拟）在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值.求直线和曲线的极坐标方程.设直线与曲线交于，两点，求的值.试题解析求直线和曲线的极坐标方程.【解析】由得，所以的极坐标方程为，由得，又因为，所以曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点，求的值.【解析】将代入，可得，即，所以，由极坐标几何意义得.应对策略1.参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程.2.利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化.拓展延伸【拓展1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），求直线和曲线的普通方程.【解析】由得，所以，所以的普通方程为，又因为，所以，因为，所以，即曲线的普通方程为.【拓展2】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的方程为.判断直线与曲线的位置关系.【解析】由得，所以，所以的普通方程为，又因为，所以，配方得，圆心，半径，由点到直线的距离公式得到直线的距离为，所以直线与曲线相交.变式训练一1.（2020湖北省沙市中学高三上学期第五次双周练）在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线.（1）求的直角坐标方程；（2）若直线与曲线分别相交于异于原点的点M，N，求的最大值。【解析】（1）极坐标方程可化为,，所以，将代入上式可得，所以曲线的直角坐标方程为. （2）不妨设，点的极坐标分别为，由，得到 由，得到所以 ，因， 所，所以时，取得最大值2.（2020内蒙古乌兰察布市等五市高三1月调研）平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）若是直线上一点，是曲线上一点，求的最大值.【解析】（1）由题，直线的参数方程为（其中为参数）.消去参数得直线的直角坐标方程为，由，得直线的极坐标方程，即，曲线的极坐标方程为，所以，由，得曲线的直角坐标方程为.（2）因为在直线上，在曲线上，所以，所以，的最大值为2.二、不等式选讲（2020陕西省西安中学高三上学期期末）已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）当时不等式恒成立，求的取值范围.当时，求不等式的解集；当时不等式恒成立，求的取值范围.试题解析当时，求不等式的解集；【解析】（1）当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上知，不等式的解集为.当时不等式恒成立，求的取值范围.【解析】解法1：当时，设，则，恒成立，只需，即，解得.解法2：当时，即，即，当时，上式恒成立，；当时，得恒成立，只需，综上知，应对策略1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值2.利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值3.不等式的证明问题，灵活运用基本不等式与柯西不等式.拓展延伸1.已知函数，当时，求的最大值.【解析】因为时，.所以，所以的最大值为4.2.已知函数，当时不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】当时，设，则，恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围为.变式训练二1.（2020宁夏回族自治区银川市银川一中高三第五次月考）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围.【解析】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是.2.（2020甘肃省天水市一中高三一轮复习第一次模拟）已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，不等式，等价于；当时，不等式化为，即，解集为；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，即，解得；综上，不等式的解集为.（2）当时，等价于，若，则，所以；若，则，所以.综上，实数的取值范围为. 模拟训练1.（2019重庆市高三4月模拟）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线（1）求与交点的直角坐标；（2）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.【解析】（1）曲线的直角坐标方程为曲线的直角坐标方程为. 由，解得或 ，故与交点的直角坐标为，.（2）不妨设，点的极坐标分别为，所以，所以的最大值.2.（2020四川省资阳市高三第一诊）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设，直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求【解析】（1）直线l的普通方程为由，得，则有，即，则曲线C的直角坐标方程为（2）将l的参数方程代入，得，设其两根为，则为M，N对应的参数，且，所以，线段MN的中点为Q对应的参数为所以，3.（2020四川省成都石室中学半期考试）在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.（1）求曲线的普通方程；（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值. 选修4-4：坐标系与参数方程【解析】(1)将曲线参数方程为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为，设上任意一点为，经过伸缩变换后的坐标为，由题意得：，故的直角坐标方程；（2）过点倾斜角为的直线的参数方程为：为参数)，代入的方程得：，记对于的参数分别为，故当时，.4.（2020江西省赣州市宁都县高三期末）在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为，所以直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，并整理得，设对应的参数分别为，则，所以，所以，所以.5.（四川省宜宾市高三第一次诊断）已知函数，.（1），有，求实数的取值范围；（2）若不等式的解集为，正数a、b满足，求的最小值.【解析】（1）由，得恒成立，所以 ，在时恒成立，所以，因为，所以，所以，所以，所以的取值范围是.方法二：根据函数的图像，找出的最小值，由得，解得，所以解得，将代入，整理得，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以.6.（2020四川省成都石室中学半期考试）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【解析】（1）由题知，当时，解得；当时，解得；当时，不等式无解；综上，不等式的解集为.（2）由题知，存在，成立，即，所以，. 7.（2020宁夏银川一中高三第五次月考）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围.【解析】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是.8.（2020