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微积分A（一）课程练习题 第一章 函数、极限、连续基础类A：一、选择题1若函数在某点极限存在，则（ ）A在点的函数值必存在且等于该点极限值B在点的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C在点的函数值可以不存在D与 可以不相等2.下列说法正确的是（ ）A. 有界数列必有极限 B.无界函数必是无穷大C. 趋于无穷大的数列必无界 D.函数的极限存在的点必是有定义的点3下列极限中，极限值为1的是（ ）A B C D 4=（ ）A0 B1 C不存在 D5设在点处连续，则=（ ）A1 B CD6设，则当时( )A是比高阶的无穷小 B是比低阶的无穷小C与是同阶但不是等价无穷小 D与是等价无穷小；7下列函数在处均不连续，其中点是的可去间断点的是（ ）A B C D8.函数有界且至少有一实根的区间是( )A0，3 B，0 C (，1) D2，4二、填空题1 . 2已知当时，与是等价无穷小，则常数= . 3 .4.，则 .5.当时，是的 无穷小.6. .7. .8.若在上连续，则 .三、计算题1 23 4. 5. 6.7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.19. 已知，其中为常数,求常数的值.20.四、讨论下列函数中所指出的间断点，并判断间断电的类型属于哪一类。1.； 2； 五、证明题1.证明方程至少有一个根介于1和2之间.2.设在上连续，且.证明：，使得.3. 设,，求证存在并求之.提高类B：1. 2. 3.4.设函数，求.5.设在处连续，若，求.答案:第一章 函数、极限、连续一、选择题1C 2C 3D 4A 5C 6D 7A 8A 二、填空题10 2 3不存在 41 5高阶 6 71 8-2 三、计算题1 2 3 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 5 18. 19. .20. (夹逼定理)四、1为第二类间断点， 且为无穷间断点， 为第一类间断点，且为可去间断点。2为第二类间断点； 为可去间断点五、证明题1. （零点定理） 2. （零点定理）3. 单调有界必有极限提高类B：1. （第二个重要极限） 2. 1（左右极限） 3. （夹逼定理）4. 5. .第一章 函数、极限、连续（答案）一、选择题1C 2C 3D 4A 5C 6D 7A 8A 二、填空题10 2 3不存在 41 5高阶 6 71 8-2 三、计算题1解：原式 2解：原式3 解：原式= = 4. 解：原式5. 解：原式 6.解：原式7.解：，故原式. 8. 解：原式=9. 解：原式=10.解：原式=11. 解：原式= 12. 解：原式= = 13. 解：原式= 14. 解：原式=15. 解： = = 16. 解：原式=17. 解：原式= =+1 =22 + 1 = 518.解：原式=19. 已知，其中为常数,求常数的值.解：由于，故即.故所以 .20.解：因为，而，由夹逼定理知四、讨论下列函数中所指出的间断点，并判断间断电的类型属于哪一类。1、； 解：为第二类间断点， 且为无穷间断点， 为第一类间断点，且为可去间断点。2、； 为第二类间断点 为可去间断点五、证明题1.证明方程至少有一个根介于1和2之间.证明：设，且在上连续。显然，由零点定理知至少存在一点使得，即方程至少有一个根介于1和2之间。2.设在上连续，且.证明：，使得.证明：令， 易知在上连续， 又，从而， 当时，取或，原命题成立； 当时，由零点定理，即； 综上所述，使得.3. 设,，求证存在并求之.证明：先用归纳法证明的单调性：，设， 则， 即：，递减。又易知， 所以，存在，设,于是：，解得：(舍去)， 即 .提高类B：1. 解：原式 = = =