2013年全国高考数学试题及答案-江苏卷word版.doc

Y N 输出 n 开始 1a2n 1nn 32aa 20a 结束 第 5 题 2013 年普通高等学校统一考试试题 江苏卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 分 请把答案填写在答题卡相印位置上 1 函数的最小正周期为 4 2sin 3 xy 答案 解析 T 2 2 2 2 设 为虚数单位 则复数的模为 2 2 iz iz 答案 5 解析 z 3 4i i2 1 z 5 32 42 3 双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 答案 xy 4 3 解析 令 得 0 916 22 yx x x y 4 3 16 9 2 4 集合共有 个子集 1 0 1 答案 8 解析 23 8 5 右图是一个算法的流程图 则输出的的值是 n 答案 3 解析 n 1 a 2 a 4 n 2 a 10 n 3 a 28 n 4 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 答案 2 解析 易得乙较为稳定 乙的平均值为 90 5 9288919089 x 方差为 2 5 9092 9088 9091 9090 9089 22222 2 S 7 现在某类病毒记作 其中正整数 可以任意选取 则 nmY Xmn7 m9 nnm 都取到奇数的概率为 答案 63 20 解析 m 取到奇数的有 1 3 5 7 共 4 种情况 n 取到奇数的有 1 3 5 7 9 共 5 种情况 则都取到奇数的概率为 nm 63 20 97 54 8 如图 在三棱柱中 分别是ABCCBA 111 FED 的中点 设三棱锥的体积为 三棱柱 1 AAACAB ADEF 1 V 的体积为 则 ABCCBA 1112 V 21 V V 答案 1 24 解析 三棱锥与三棱锥的相似比为 1 2 故体ADEF ABCA 1 积之比为 1 8 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为 1 3 所以 三棱锥与ABCA 1 ABCCBA 111 ADEF 三棱柱的体积之比为 1 24 ABCCBA 111 9 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三角形内部和边界 2 xy 1 xD 若点是区域内的任意一点 则的取值范围是 yxPDyx2 答案 2 1 2 解析 抛物线在处的切线易得为 y 2x 1 令 z y x 2 xy 1 xyx2 1 2 z 2 画出可行域如下 易得过点 0 1 时 zmin 2 过点 0 时 zmax 1 2 1 2 y x O y 2x 1 y x 1 1 2 2 10 设分别是的边上的点 ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 若 为实数 则的值为 ACABDE 21 21 21 答案 1 2 A B C 1 A D E F 1 B 1 C y x l B F O c b a 解析 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 所以 6 1 1 3 2 2 21 1 2 11 已知是定义在上的奇函数 当时 则不等式 的 xfR0 xxxxf4 2 xxf 解集用区间表示为 答案 5 0 5 解析 做出 的图像 如下图所示 由于是定义在上的奇函数 xxxf4 2 0 x xfR 利用奇函数图像关于原点对称做出 x 0 的图像 不等式 表示函数 y 的图像在xxf xf y x 的上方 观察图像易得 解集为 5 0 5 x y y x y x2 4 x P 5 5 Q 5 5 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右焦点为xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 右准线为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到 的距离为FlBBF 1 dFl 若 则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd C 答案 3 3 解析 如图 l x c 由等面 c a 2 2 d c a 2 c b2 积得 若 则 整 1 d a bc 12 6dd c b2 6 a bc 理得 两边同除以 得 解之得 066 22 baba 2 a066 2 a b a b 所以 离心率为 a b 3 6 3 3 1e 2 a b 13 在平面直角坐标系中 设定点 是函数 图象上一动点 xOy aaAP x y 1 0 x 若点之间的最短距离为 则满足条件的实数的所有值为 AP 22a 答案 1 或10 解析 14 在正项等比数列中 则满足的 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 最大正整数的值为 n 答案 12 解析 设正项等比数列首项为 a1 公比为 q 则 得 n a 3 1 2 1 51 41 qqa qa a1 q 2 an 26 n 记 1 32 5 21 2 12 n nn aaaT 2 1 21 2 nn nn aaa 则 化简得 当时 nn T 2 1 5 2 2 12 nn n 5 2 11 2 1 2 212 nn n 5 2 11 2 1 2 nnn 当 n 12 时 当 n 13 时 故 nmax 12 12 2 12113 n 1212 T 1313 T 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知 sin cos sin cos ba 0 1 若 求证 2 baba 2 设 若 求的值 1 0 ccba 解 解 1 a b cos cos sin sin a b 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos cos sin sin 2 所以 cos cos sin sin 0 所以 ba 2 2 2得 cos 1sinsin 0coscos 1 2 所以 3 2 3 2 带入 得 sin sin cos sin sin 1 3 2 2 3 1 2 3 所以 3 2 所以 6 5 6 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A 垂足为 点分别是棱的中点 求证 SBAF FGE SCSA 1 平面平面 EFGABC 2 SABC 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC 的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB面 SBC AC面 ABC 所以 平面平面 EFGABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA平面 SAB 所以 SABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 点 直线 xOy 3 0 A42 xyl 设圆的半径为 圆心在 上 C1l 1 若圆心也在直线上 过点作圆的切线 C1 xyAC 求切线的方程 2 若圆上存在点 使 求圆心的横坐CMMOMA2 C 标的取值范围 a 解 解 1 联立 得圆心为 C 3 2 42 1 xy xy A B C S G F E x y A l O 设切线为 3 kxy d 得 1 1 233 2 r k k 4 3 0 kork 故所求切线为 3 4 3 0 xyory 2 设点 M x y 由 知 MOMA2 2222 2 3 yxyx 化简得 4 1 22 yx 即 点 M 的轨迹为以 0 1 为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 D 又因为点在圆上 故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 MC 故 1 CD 3 其中 22 32 aaCD 解之得 0 a 12 5 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直线步行ACA 到 另一种是先从沿索道乘缆车到 然后从沿直线步行到 现有甲 乙两CABBC 位游客从处下山 甲沿匀速步行 速度为 在甲出发后 乙从AACmin 50mmin2 乘缆车到 在处停留后 再从匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的ABBmin1C 速度为 山路长为 经测量 min 130mACm1260 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 C3 乙步行的速度应控制在什么范围内 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 C B A D M N 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 19 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 n aad 0 d n Sn cn nS b n n 2 其中为实数 Nn c 1 若 且成等比数列 证明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差数列 证明 n b0 c 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若是等差数列 则型 n bBnAnbn 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 即 而 0 0 2 2 1 2 cn adn c 0 2 2 1 adn c 2 2 1 adn 故 0 c 经检验 当时是等差数列 0 c n b 20 本小题满分 16 分 设函数 其中为实数 axxxf ln axexg x a 1 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 xf 1 xg 1 a 2 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 xg 1 xf 解 解 1 0 在上恒成立 则 a x xf 1 1 a x 1 1 x 故 1 a axg x e 若 1 e 则 0 在上恒成立 aaxg x e 1 此时 在上是单调增函数 无最小值 不合 axexg x 1 若 e 则在上是单调减函数 在上是单调增函aaxexg x ln1 a ln a 数 满足 ln min agxg 故的取值范围为 e aa 2 0 在上恒成立 则 ex axg x e 1 a 故 a 1 e 0 11 x x ax a x xf 若 0 令 0 得增区间为 0 a 1 e x f 1 a 令 0 得减区间为 x f 1 a 当 x 0 时 f x 当