广东省2013届高考压轴卷 数学文试题.doc

绝密启用前 试卷类型：B 2013广东省高考压轴卷数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，为锥体的高 样本数据的方差,其中表示样本均值一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的图1MN1. 已知集合和的关系的韦恩（）图如图1所示，则阴影部分所示的集合是ABCD2. 命题“存在实数，使”的否定是A对任意实数, 都有B不存在实数，使C对任意实数, 都有D存在实数，使3. 若复数（是虚数单位，是实数），则ABCD24. 已知平面向量，且，则ABCD132xyO图25. 已知是定义在上的奇函数，且时的图像如图2所示，则ABCD6. 已知变量，满足约束条件则的最大值为A2B3C4D67. 设函数，则A为的极大值点B为的极小值点C为的极大值点D为的极小值点 8. 已知直线，其中成等比数列，且直线经过抛物线的焦点，则AB0C1D4241正视图俯视图侧视图图39. 如图3所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为ABCD10. 对于任意两个复数，（），定义运算“”为：则下列结论错误的是ABCD图40.060.050.040.030.02体重50 55 60 65 70 75二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）11. 函数的定义域是_12. 某公司为了了解员工们的健康状况，随机抽取了部分员工作为样本，测量他们的体重（单位：公斤），体重的分组区间为50,55），55,60），60,65），65,70），70,75，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示根据频率分布直方图，估计该公司员工体重的众数是_；从这部分员工中随机抽取1位员工，则该员工的体重在65,75的概率是_13. 已知中，的对边分别为，若，则_（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）PABCOD图514. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_15. （几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，过点作的垂线，垂足为，则_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. （本小题满分12分）设等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值；（3）设数列的前项和为，求的值17. （本小题满分13分）已知函数的最大值是1，且（1）求函数的最小正周期；（2）求的解析式；（3）已知锐角的三个内角分别为，若，求的值18. （本小题满分13分）某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：文科考生6735196理科考生53已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名240581131211图6（1）求的值；（2）图6是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名考生的语文成绩的方差；（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为，不低于400分的文科理科考生人数之比为，求、的值19. （本小题满分14分）A1B1C1D1ABCD图7D1DCBA1AEF图8将棱长为正方体截去一半（如图7所示）得到如图8所示的几何体，点，分别是，的中点（1）证明：；（2）求三棱锥的体积 20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切（1）求圆的方程；（2）若椭圆的离心率为，且左右焦点为试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）21. （本小题满分14分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围 2013广东省高考压轴卷数学文试题答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678910答案BCCABDDAAB答案详细解析：1阴影部分所示的集合是2存在量词变成任意量词，结论变3，解得4，解得，xyOA56如图，作出可行域，当目标函数直线经过点A时取得最大值由解得，7由，得，又时，时，在时取得极小值8成等比数列，直线经过抛物线的焦点，由联立解得或（舍去），9该几何体的直观图如图所示，由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直三棱柱四棱锥的体积为，直三棱柱的体积为，该几何体的体积为10二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分111262.5，131415说明：第12题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分 答案详细解析：11，函数的定义域是12众数是，各分组频率分别为0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，该员工的体重在65,75的概率是13由正弦定理，又，14曲线与分别转化为直角方程得，。联立，解得或（舍去）。，又，交点的极坐标为另解：联立，解得或（舍去），曲线与的交点的极坐标为15连接根据切割线定理，（等面积），三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）解：(1)设等差数列的公差为，,2分数列的通项公式4分（2）方法一：6分解得或（舍去）8分方法二：，6分解得或（舍去）8分（3），9分12分17（本小题满分13分）解：（1）函数的最小正周期是2分（2）函数的最大值是1，3分又5分的解析式是6分（3），8分，10分13分18（本小题满分13分）解：（1）依题意，3分（2）5分这6名考生的语文成绩的方差8分（3）依题意，11分解得13分19（本小题满分14分）（1）证：连接，交于点1分平面，平面3分D1DCBA1AEFO点，分别是，的中点，又，又，即5分又平面7分又平面8分（2）解：平面，是三棱锥的高，且9分点，分别是，的中点，12分14分20（本小题满分14分）解：（1）依题意，设圆的方程为1分圆与轴相切，圆的方程为4分（2）椭圆的离心率为解得6分，7分恰为圆心8分（i）过作轴的垂线，交圆，则，符合题意；10分（ii）过可作圆的两条切线，分别与圆相切于点，连接，则，符合题意13分综上，圆上存在4个点，使得为直角三角形14分21（本小题满分14分）解：(1) 2分令得3分（i）当，即时，在单调递增4分