数学人教版九年级上册圆的基本性质和垂径定理.doc

圆中的计算垂径定理教学设计【内容分析】 垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。【学情分析】 学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。【教学目标】1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用； 2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力； 3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想； 4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学的信心和热情。【教学重点】1. 垂径定理及其推论的灵活运用；2. 定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。【教学难点】添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。【任务分析】 学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。【教学策略】 引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。【教学过程】一、 引入1.确定垂径定理基本图形师：我们今天复习的内容是圆。（老师在黑板上画圆）CDOCDOCDO师：请同学们在下图中添加一条非直径的弦EEO CD不垂直于AB CDAB于点E CDAB 图（1） 图（2） 图（3）利用图（1）与图（2）图形结构的对比，确定垂径定理基本图形。师：图（2），是垂径定理的基本图形。 这就是今天我们复习的主角垂径定理。根据图（2），同学们来说一下垂径定理图中有那些相等的量。条件：AB是直径； ABCD结论：CE=DE； 弧AC=弧AD；弧BC=弧BD.让学生自行用数学符号语言表述这一结论(垂径定理)，最后提炼出垂径定理的文字表述垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧注意：定理中的两个条件缺一不可过圆心的直线，垂直于弦CDO师： 垂径定理体现了直径、弦、弧三者之间的关系，E直径 AB是直径； ABCD弦（非直径的弦） CE=DE弧 弧AC=弧AD；弧BC=弧BD例如： 条件： AB是直径； CE=DE 结论： ABCD；弧AC=弧AD；弧BC=弧BD垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.5个条件，过圆心，垂直于弦，平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧。（当以、为题设时，“弦”不能是直径。），知道2个条件，从而得到另外3个条件成立，我们简称垂径定理“知二推三”。ECDO2垂径定理应用 1. 在O中， CD=8，圆心O 到CD的距离（即弦心距）为3，则半径长为 5 2.在O中，半径OC=5，弦CD的长为8，则OE= 3 3. 在O中，半径OC=5，OE= 3，则弦CD的长为 8 垂径定理的简单运用后，圆中半径、弦心距及弦长三者有何关系？ r2=d2+（）2 半径2=圆心距2+（弦长）2 根据此公式，在l，r，d三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。设计意图：利用变式训练，加深学生对定理本质的了解，总结规律，培养学生的归纳总结能力。 利用垂径定理求直径(半径)、弦或弦心距的长度1. 如图（1），在O，ABCD于P，弦CD=16 ，OP=6，则半径的长是 析解：连接OD,因为ABCD于P，所以由垂径定理可得.在RtDOP中，由勾股定理可得OD=10 图（1）2. 如图（2），O的半径为5，弦，于，则OC的长等于 析解：连接OA,因为于，所以由垂径定理可得AC=.在RtAOC中，由勾股定理可得OC= 图（2）3. 如图（3），O的半径为20，则弦AB= SAOB= O解析：过点O作OCAB于C，则AC=BC，AOC=BOC=60OAC=30O OC= 根据勾股定理 或 在RtAOC中，sin60= AC=AOsin60=2 图（3） AB= SAOB=4. 如图（4），AB是O的直径，弦CDAB于E，如果AB=10，CD=8，那么AE的长为_ 解析： AB=10，O的半径为5，根据垂径定理可知DE=在RtDOE中，DEO=90，OD=5，DE=4，根据勾股定理得：OE=3，则求得的AE=2图（4）5. 如图（4）， AB是O的直径，弦CDAB于E，如果CD=8，AE=2，那么OE的长为 解析：设OD=x，则OE=x-2， AB是O的直径，弦CDAB,CD=8，DE=4 根据勾股定理 42+(x-2)2=x2 解得x=5, OE=36. 如图（5）AB是O的直径，CD是O的弦，且ABCD，垂足为E，连接OC，若cosC=,CD=8，则OE= 解析： AB为直径，ABCD， CE=DE CD=8 CE cosC= CO=5 OE= 3 图（5）设计意图：熟悉常用的辅助线方法：连半径，作弦心距，与弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理求解或方程思想等解决问题。已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，既可以根据勾股定理求出另外的两个量。例1：如图，已知ABC内接于O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CFBD（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长（1）方法一:证明：AB=AC 弧AB=弧AC AD是O的直径BE=CE方法二：证明：AD是直径，ABD=ACD=90，在RtABD和RtACD中， RtABDRtACD，BAD=CAD，AB=AC，BE=CE；（2）答：四边形BFCD是菱形证明：AD是直径，AB=AC，ADBC，BE=CE，CFBD，FCE=DBE，在BED和CEF中，BEDCEF，CF=BD，四边形BFCD是平行四边形，BAD=CAD，BD=CD，四边形BFCD是菱形；（3）解：连接OBAD是直径，AD=10ADBC，BE=CE=， 在RtOBE中， DE=OD-OE=5-3=2在RtCED中，CD=2设计意图：进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。三、课堂小结师：通过本节课的学习，你对垂径定理又有哪些新的认识？收获？通过本节课的复习，我们又重新梳理了直径与弧、弦之间的关系定理垂径定理及推论，以及圆的一些基本知识，圆心角、圆周角。通过学习，我们知道解决垂径定理题目的方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合可以计算弦长、半径、弦心距等问题，关键是构造直角三角形连半径或作弦心距；(2)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足过圆心；垂直于弦；则可得平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧基础练习：1、（2013广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），P的半径为，则点P的坐标为_ （3,2） 第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD40,则DCF等于 400 .3、如图,AB为O的直径,E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D.已知BC=8,AB=10,则DE的为 2 .4、如右图，在ABC 中，O 是它的外接圆，ODAB于D , OEAC于E.若 DE=3 ,则BC= 6 。5、已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是（C ）A B. C. D. 6. 如图，AB为O直径，已知为DCB=20o,则DBA为（ D ）A B. C. D. 7.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC则四边形OACB是（ C ）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.以上答案都不对DCO 第（6）题 第（7）题 第（8）题7. 如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围 3OP5 9.在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_1cm或7cm_ _.10. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB300m，CD50m，求这段弯路的半径多少？. 解：OCAB，AB300m，AD150m.设半径为R