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1 主讲教师 王升瑞 高等数学 第十七讲 2 二 几个初等函数的麦克劳林公式 第八节 一 泰勒公式的建立 三 泰勒公式的应用 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 Taylor 公式 第二章 3 特点 一 泰勒公式的建立 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 需要解决的问题 如何提高精度 如何估计误差 x的一次多项式 若 是非多项式函数 问是否可用一个n次多项式 来近似表示 4 由 误差 即为一次多项式 的高阶无穷小 试问 是否成立 即是否求出 特例 5 即 为抛物线与 更为接近 问 类似方法可得 右边的多项式在0的附近可以无限的接近于 如何用高次多项式来近似表示已给函数 并给出误差 公式呢 6 1 求n次近似多项式 要求 故 令 则 7 2 余项估计 令 称为余项 则有 8 9 公式 称为的n阶泰勒公式 公式 称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 泰勒中值定理 阶的导数 时 有 其中 则当 10 公式 称为n阶泰勒公式的佩亚诺 Peano 余项 在不需要余项的精确表达式时 泰勒公式可写为 注意到 可以证明 式成立 11 特例 1 当n 0时 泰勒公式变为 2 当n 1时 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 12 称为麦克劳林 Maclaurin 公式 则有 在泰勒公式中若取 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 13 二 几个初等函数的麦克劳林公式 其中 14 其中 15 泰勒多项式逼近 16 泰勒多项式逼近 17 五 小结 18 五 小结 19 五 小结 20 五 小结 21 22 23 24 25 26 27 2020 3 15 28 可编辑 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 类似可得 其中 39 其中 40 已知 其中 类似可得 41 1 利用泰勒公式求极限 例1计算 解 原式 三 泰勒公式的应用 42 例2求 解 用函数的麦克劳林展开式求此极限 43 解 由于 用洛必塔法则不方便 例3 求 44 例4设 求 解 45 2 利用泰勒公式证明不等式 例4 证明 证 46 例5设当 有 证明 在 时 至少有一个实根 在 处展开成一阶泰勒公式 因此 根据连续函数零点 而 此 使得 的一个实根 证明将 定理可知 至少存在一点 为 2 利用泰勒公式证明方程根的存在性 47 内容小结 1 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 48 2 常用函数的麦克劳林公式 P139 P140 3 泰勒公式的应用 1 近似计算 3 其他应用 求极限 证明不等式等 2 利用多项式逼近函数 49 作业 P1411 2 3 4 5 6 7 50 泰勒 1685 1731 英国数学家 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 重要著作有 正的和反的增量方法 1715 线性透视论 1719 他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式 他是有限差分理论的奠基人 51 麦克劳林 1698 1746 英国数学家 著作有 流数论 1742 有机几何学 1720 代数论 1742 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 52 4 设 且 证明 证明由已知极限式得 利用泰勒公式有 从而 53 6 设函数 在 上三阶可导 且 设 使 证 因 因 因此 试证存在 利用二阶泰勒公式 得 54 7 设函数 在 上二阶可导 且 证明方程 内有且仅有