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线性代数与线性规划线性代数与线性规划第一章 行列式一、二阶行列式：定义：=a11a22-a12a21注：对角线法则二、三阶行列式：1、定义：= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a332、代数余子式表达：=-+3、a11的余子式M11：（以此类推）4、a11的代数余子式：（-1）1+1M11四、n阶行列式：定义：D=a11A11+a12A12+a1nA1n注：当n=1时，|a11|=a11五、三角行列式：定义：三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，即=a11a22a33ann六、行列式的基本性质：1、转置行列式：将行列式各行元素作为各列构成的行列式D=Dt=2、命题及推论：命题1：行列式与它的转置行列式的值相等注：对于行成立的性质，对列也成立命题2：交换行列式的两行或两列，行列式改变符号推论：行列式中，如果有两行或两列对应相等，则此行列式值为零命题3：若行列式中某行或某列元素有一个公因子可以提到行列式符号外面命题4：注：对于列也成立命题5：行列式中某一行或列的元素乘上一个数，加到另外一行或列对应的列上去，行列式的值不变命题6：行列式可以表示为其任一行或列的元素，分别乘上它们对应的代数余子式之和，也称行列式可以按任意行或列展开推论：行列式中某行或列的元素，分别乘上另一行或列对应元素的代数余子式之和值为零七、克莱姆法则：1、n元线性方程组：（1）非齐次线性方程组：b1、b2bn不全为零的方程组（2）齐次线性方程组：b1、b2bn全为零的方程组2、系数行列式：D=3、定理：（1）对于线性方程组1）系数行列式D0，则线性方程组有唯一解：xj=（j=1、2、n）注：Dj是把D中第j列元素a1j、a2j、anj对应地把常数项b1、b2、bn替换，其余各行保持不变的行列式2）系数行列式D=0，且Dj=0，则线性方程组有无数解注：Dj不是指一行行列式，而是线性方程组所有行的行列式都为零3）系数行列式D=0，且Dj0，则线性方程组无解注：Dj是指任一行行列式为零（2）对于齐次线性方程组：1）系数行列式D0，则齐次线性方程组只有零解2）系数行列式D=0，则齐次线性方程组有非零解第二章 矩阵代数基础一、矩阵的初步：1、定义：由mn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表，通常用大写字母A、B、C等表示中的系数A=简称A=(aij)mn2、方阵：矩阵的行数与列数相等时，即m=nAnn=3、实矩阵：元素是实数的矩阵4、复矩阵：元素是复数的矩阵5、零矩阵：元素都为零的矩阵二、特殊的矩阵：1、向量：（1）行向量（一行的矩阵）：A=（2）列向量（一列的矩阵）：B=2、对角和数值矩阵：（1）对角矩阵：A=diag（1，2，n）=（2）数值矩阵：A=3、单位矩阵：三、矩阵的线性运算：1、矩阵相等：A=B1）两个矩阵对应的行和列都相等2）对应元素相等2、矩阵的加法：A+B=（aij+bij）mn=注：只有同行同列的矩阵可加3、矩阵的减法：A-B=A+（-B）4、数乘运算：kA=k（aij）=5、矩阵的乘法：C=AB=注：左边矩阵的列数=右边矩阵的行数，两个矩阵可进行乘法，否则无意义乘积矩阵的行数=左边矩阵的行数，乘积矩阵的列数=右边矩阵的列数任何一矩阵乘上或者被乘上单位矩阵，那么乘积还是原来的矩阵一般不满足交换律，即ABBA一般不满足消去律，即AC=BC0A=B6、方阵的幂运算： Ak=AAA（共有k个A）注：A0=E7、运算：（1）A+B=B+A（2）（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+O=A（4）A+（-A）=O（5）k（lA）=（kl）A（6）（k+l）A=kA+lA（7）k（A+B）=kA+kB（8）（AB）C=A（BC）（9）（A+B）C=AC+BC（10）C（A+B）=CA+CB（11）k（AB）（kA）B=A（kB）（12）AmAn=Am+n（m、n为非负整数）（13）（Am）n=Amn（14）当AB=BA时，则（AB）m=AmBm（15）（AB）2A22AB+B2（16）A2-B2（A-B）（A+B）四、矩阵的分块：1、子块：在一个矩阵行和列之间加一些虚线，将矩阵分成一些小的矩阵2、分块矩阵：保持子块的相对位置组成的矩阵若A=A11=、A12=、A21=、A22=则A=注：不只分为这种方法，可以任意分3、分块对角矩阵：主对角线以外的子块都是零矩阵的矩阵，A=4、运算：（1）矩阵A与B的行列都相等：AB=（2）常数k乘以矩阵：kA=（3）分块矩阵的乘法：AB=注：A是hl的矩阵，B是lt的矩阵五、线性方程组的矩阵表示：1、矩阵法表示：线性方程组矩阵形式：（A）（X）=（b）2、系数矩阵：（A）3、解向量：若x1=c1，x2=c2，xn=cn，则x=4、齐次线性方程矩阵法表示：AX=O六、矩阵的转置：1、转置矩阵：把矩阵的行与同序数的列交换得到的矩阵A=At（）=2、对称矩阵：A=At注：关于主对角线对称的矩阵也是对称矩阵3、反对称矩阵：At=-A注：每一个方阵总可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和4、运算：（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT（4）（AB）T=BTAT七、方阵的行列式：1、定义：由n阶方阵的元素构成的行列式（各元素的位置不变），记作：|A|或detAA=|A|=注：方阵与行列式的概念不同，方阵是n2个数按一定方式排列成的数表，行列式是一个数值2、运算：（1）|AT|=|A|（2）|kA|=kn|A|（3）|AB|=|A|B|八、可逆矩阵：1、方阵A可逆：对于方阵A，若存在方阵B，且AB=BA=E，记作：A-12、矩阵A的逆： AB=BA=E中的B注：可逆矩阵的逆是唯一的单位矩阵是可逆的，切逆矩阵就是本身3、运算：（1）（A-1）-1=A（2）（kA）-1=k-1A-1（3）（AB）-1=B-1A-1（4）|A-1|=|A|-1（5）（AT）-1=（A-1）T4、伴随矩阵：方阵A的行列式|A|中各个元素的代数余子式A=A*=5、可逆矩阵的值：A-1=注：|A|0九、初等变换：1、单位矩阵的初等变换（初等矩阵）：（1）E的第i行（列）乘以非零常数k得到的矩阵：E（i（k）=（2）E的第i、j行（列）互换得到：E（i，j）=（3）E的第j行乘以数k加到第i行上，或E的第i列乘以数k加到第j列上得到的矩阵：E（ij（k）=2、初等矩阵的性质：（1）初等矩阵的逆：1）E（i（k）-1=E（i（k-1）2）E（i，j）-1=E（i，j）3）E（ij（k）-1=E（ij（-k）（2）初等矩阵的行列式：1）|E（i，j）|=-12）|E（i（k）|=k3）|E（ij（k）|=13、矩阵与初等矩阵关系：设A是一个mn的矩阵（1）若AE（i（k）或E（i（k）A，则A的第i行（或第i列）元素乘k（2）若AE（i，j）或E（i，j）A，则A的第i行与第j行（或第i列与第j列）互换（3）若AE（ij（k）或E（ij（k）A，则A的第j行乘上常数k加到了第i行（或第i列乘上常数k加到了第j列）4、矩阵的初等变换：（1）以一个非零的常数k乘矩阵的某一行或某一列（2）交换矩阵的两行或两列（3）把矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列5、梯形矩阵：（1）形式：1）零行（元素都为零的行）位于矩阵的最下方（有零行的情况下）2）各非零行的首非零元的列标随行标的增大而增大（2）最简行阶梯形矩阵：1）各非零行的首非零元都是12）每个首非零元所在列的其余元素都是零6、求逆矩阵的初等变换法：（1）过程：将A化为单位矩阵，E化为A-1，即（2）扩展：注：A为n阶可逆矩阵，则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵E十、向量的线性相关性：1、n元向量（n维向量）：1n或b1的矩阵，用、等表示2、n元向量组：1、2、3、S3、向量组的线性组合：向量组1、2、3、S，对于任何一组实数k1、k2、k3、kS，则k11+k22+kSS4、线性组合的系数：k2、k3、kS5、的线性组合：=k11+k22+kSS6、向量组线性相关：向量组1、2、3、S，对于不全为零的k1、k2、k3、kS，则k11+k22+kSS=0注：包含零向量的任何向量组都是线性相关的向量组只含有一个向量且=0，则线性相关向量线性相关的两个向量两个向量分量成比例7、向量组线性无关：（1）向量组1、2、3、S，对于不全为零的k1、k2、k3、kS，则k11+k22+kSS0（2）k1=k2=k3=kS=0时，则k11+k22+kSS=0注：向量组只含有一个向量且0，则线性无关向量线性无关的两个向量两个向量分量不成比例注：从定义出发判断一个向量组的线性相关性，可以令它的线性组合为零，如果说明系数必须全为零，则此向量组线性无关；如果系数不全为零，则此向量组线性相关8、定理：（1）向量组1、2、3、S（S2）线性相关向量组至少有一个向量可由其余S-1个向量线性表示（2）如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关注：线性无关的向量组中的任何部分皆线性无关（3）若向量组1、2、3、S，线性相关，而向量组1、2、3、S线性无关，则向量可由唯一的1、2、3、S线性表示（4）若向量组1、2、3、t线性无关且每个向量都可以由1、2、3、S线性表示，则tS注：当且仅当两向量组等价时，“=”成立9、向量组的极大无关组：（1）条件：对于向量组1、2、3、n的一个部分组1）此部分组线性无关2）1、2、3、n中的每一个向量都可以由这个部分组线性表示注：向量组的极大无关组不唯一（2）向量组的极大无关组所含向量个数是相同的10、向量的秩：向量组的极大无关组所含向量的个数第三章 线性方程组一、矩阵的秩：1、k阶子式：在矩阵A中，位于任意选定的k行k列相交处的k2个元素，按照原来的相对位置构成的k阶行列式2、非零子式：子式的值不等于零注：mn矩阵A的k阶子式一共有个当A=O时，任何子式都为零当AO时，至少有一个元素不为零如果A中有r阶子式不为零，且没有高于r阶的不为零的子式，则此时不为零的子式的最高阶数为r3、定义：设A为mn矩阵，如果存在A的r阶子式不为零，而任何r+1阶子式（如果存在）皆为零，记作：r（A）（R（A）（子时不全为零的最高节数）注：零距阵的秩等于零4、满秩矩阵：当r（A）=m或n中的最小数5、降秩矩阵：当r（A）m或n中的最小数6、性质：（1）若矩阵A中某个s阶子式不为0，则r（A）s（2）若A中所有t阶子式全为0，则r（A）t（3）r（A）=r（AT）（4）若A为mn矩阵，则0r（A）m或n中最小的数（5）若A为nn矩阵且A满秩r（A）=n行列式一定不等于0一定是可逆的矩阵7、定理：（1）行阶梯形矩阵的秩等于它所含非零行的个数（2）对矩阵做一次行（列）变换，矩阵的秩不变（3）初等变换不改变矩阵的秩二、线性方程组的解：1、矩阵消元法：对于给定的线性方程组，写出其增广矩阵（），对其进行初等变换为最简阶梯形矩阵，还原成方程组2、有解的条件：n元线性方程组Ax=b有解r（A）=r（）（1）方程有唯一解：r（A）=r（）=n（2）方程有无穷解：r（A）=r（）n（3）对于n元齐次线性方程组：1）一定有零解：Ax=02）有非零解：r（A）n（4）无穷解的向量形式：设x3=c1，x4=c2（c1R且c2R），注：d、f、h、j、k、m都是常数则X=三、线性方程组的结构：1、向量组：（1）设1、2、3、n为n元向量组（mn）1）当n元向量组线性相关时，它的秩小于m2）当n元向量组线性无关时，它的秩等于m（2）解向量组是否线性相关的方法：用每个向量的元素作为一列构成一个矩阵，然后化成行阶梯形矩阵，根据上面的定理判断（3）k元线性无关的向量组每个向量组增加p个分量后，得到k+p元向量组仍线性无关设、线性无关，则组向量、也线性无关2、齐次线性方程组：（1）1）矩阵表示法：A=，X=AX=02）解向量：X=3）若为上面方程组解向量，则也是解向量4）若为上面方程组的解向量，则（kR）也是解向量（2）齐次线性方程组AX=0的解集中，所有解向量的极大无关组、满足：1）、线性无关2）方程组任意一解均可用、表示（3）基础解系：此时的、（4）通解：x=（5）设x3=c1，x4=c2（c1R且c2R），注：d、f、h、j、k、m都是常数则X=1）基础解系：=，=2）通解：x=3、非齐次线性方程组：（1）导出的齐次线性方程组的解：设是非齐次线性方程组AX=b的解，则解为：（2）非齐次线性方程组的解：设是非齐次线性方程组AX=b的解，为导出的齐次线性方程组的解，则解为：+（3）非齐次线性方程组的通解：设是非齐次线性方程组AX=b的一个解，为导出的齐次线性方程组的通解第四章 投入产出的数学模型一、投入产出表：二、意义：1、xij：一个周期内第i个产业部门对第j个产业部门投入的产品数量（第j个产业部门消耗地i个产业部门的产品价值）2、yi：第i个产业部门供给市场消耗的产品价值3、zj：第j个产业部门在一个生产周期内的创新价值4、xi：汇总三、方程组：1、分配平衡：（1）普通：（2）矩阵：AX+Y=X2、消耗平衡：（1）普通：（2）矩阵：CX+Z=X3、直接消耗系数：4、矩阵解释：（1）直接消耗系数矩阵：A=（2）X=，Y=，Z=（3）C=第四章 线性规划一、模型：1、实际应用类型：（1）任务安排问题：裁决变量：设xj是第j种产品的生产总量（jN*）（