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对数函数及其性质 一 复习 1 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 a 1 0 a 1 图象 性质 定义域 值域 定点 0 1 在R上是增函数 在R上是减函数 x R y 0 2 指数和对数的互化 我们研究指数函数时 曾讨论过细胞分裂问题 某种细胞分裂时 由1个分裂成2个 2个分裂成4个 1个这样的细胞分裂成x次后 得到细胞个数y是分裂次数x的函数 这个函数可以用指数函数y 2x表示 1 2 4 y 2x 二 探究 通常 我们习惯将x作为自变量 y作为函数值 所以写为对数函数 当已知指数函数值求指数时 可将指数函数改写为与之等价的对数函数进行求值 y log2x 注意 1 对数函数定义的严格形式 2 对数函数对底数的限制条件 思考 对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢 提示 对数函数的解析式具有以下三个特征 1 底数a为大于0且不等于1的常数 不含有自变量x 2 真数位置是自变量x 且x的系数是1 3 logax的系数是1 判断下列函数哪些是对数函数 在同一坐标系中用描点法画出对数函数的图象 作图步骤 列表 描点 连线 对数函数 y logax a 0 且a 1 图象与性质 探究 列表 描点 作y log2x图象 连线 对数函数 y logax a 0 且a 1 图象与性质 列表 描点 连线 210 1 2 2 1012 对数函数 y logax a 0 且a 1 图象与性质 对数函数的图象 猜一猜 2 1 1 2 1 2 4 O y x 3 由这些函数的图象可以总结出对数函数的图象与性质 定义域 0 值域 R 增函数 在 0 上是 探索发现 认真观察函数y log2x的图象填写下表 图象位于y轴右方 图象向上 向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 探究 对数函数 y logax a 0 且a 1 图象与性质 2 1 1 2 1 2 4 0 y x 3 定义域 0 值域 R 减函数 在 0 上是 图象位于y轴右方 图象向上 向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降 探究 对数函数 y logax a 0 且a 1 图象与性质 探索发现 认真观察函数的图象填写下表 一般地 对数函数y logax在a 1及0 a 1这两种情况下的图象和性质如下表所示 0 R 定点 1 0 在 0 上是增函数 在 0 上是减函数 当0 x 1时 y 0当x 1时 y 0 当0 x 1时 y 0当x 1时 y 0 17 可编辑 五 应用举例 例1 求下列函数的定义域 y logax2 y loga 4 x 因为x2 0 即x 0 所以函数y logax2的定义域是 x x 0 因为4 x 0 即x 4 所以函数y loga 4 x 的定义域是 x x 4 解 求下列函数的定义域 变式练习 2 因为x 0且 解 1 因为1 x 0 即x 1 所以函数y log5 1 x 的定义域为 x x 1 所以函数的定义域为 x x 0 且x 1 即x 0且x 1 所以函数的定义域为 所以函数的定义域为 3 因为 即 4 因为x 0且 即 由具体函数式求定义域 考虑以下几个方面 1 分母不等于0 2 偶次方根被开方数非负 3 零指数幂底数不为0 4 对数式考虑真数大于0 5 实际问题要有实际意义 总结提升 例2比较下列各组数中两个值的大小 log23 4 log28 5 log0 31 8 log0 32 7 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 解 考察对数函数y log2x 因为它的底数2 1 所以它在 0 上是增函数 于是log23 4 log28 5 考察对数函数y log0 3x 因为它的底数为0 3 即0 0 3 1 所以它在 0 上是减函数 于是log0 31 8 log0 32 7 loga5 1 loga5 9 a 0 a 1 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1 而已知条件中并未指出底数a与1哪个大 因此需要对底数a进行讨论 当a 1时 函数y logax在 0 上是增函数 于是loga5 1 loga5 9 当0 a 1时 函数y logax在 0 上是减函数 于是loga5 1 loga5 9 练习 比较下列各题中两个值的大小 log106log108 log0 56log0 54 log0 10 5log0 10 6 log1 51 6log1 51 4 5 log0 50 3 log20 8 2 当底数不确定时 要对底数a与1的大小进行分类讨论 钥匙 1 当底数相同时 利用对数函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组数中两个值的大小 log27与log57 解 log75 log72 0 log27 log57 7 log57 log27 例4 比较下列各组数中两个值的大小 log76log77 log67log76 log32log20 8 钥匙 当底数不相同 真数也不相同时 利用 介值法 常需引入中间值0或1 各种变形式 log67log66 log32log31 log20 8log21 1 1 0 0 log67log76 log32log20 8 一 同底数比较大小1 当底数确定时 则可由函数的单调性直接进行判断 2 当底数不确定时 应对底数进行分类讨论 三 若底数 真数都不相同 则常借助1 0等中间量进行比较 小结 两个对数比较大小 二 同