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精品文档2016年全国高中数学联合竞赛加试一、（本题满分40分）设实数满足。求的最大值。解：令，由已知得，对，2015，均有。若，则。10分以下考虑的情况。约定。由平均不等式得20分所以。30分当时，上述不等式等号成立，且有，此时。综上所述，所求最大值为。40分二、（本题满分40分）如图所示，在中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得。设，的外心分别为，直线与AB，AC分别交于点U，V。证明：是等腰三角形。证法一：作的内角平分线交BC于点P，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为和。由内角平分线的性质知，。由条件可得。从而即。20分故P对圆和的幂相等，所以P在和的根轴上。30分于是，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰三角形。40分证法二：设的外心为O，连接，。过点，分别作直线BC的垂线，垂足分别为，作于点K。我们证明。在直角三角形中，由外心性质，。又，故。而分别是BC，CX的中点，所以。因此这里R是的外接圆半径。同理。10分由已知条件可得，故。20分由于，所以90。同理90。30分又因为，故，从而。这样，即是等腰三角形。40分三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。解：以这10个点为顶点，所连线段为边。得到一个10阶简单图G。我们证明G的边数不超过15.设G的顶点为，共有条边，用表示顶点的度。若对，10都成立，则假设存在满足。不妨设，且与均相邻。于是之间没有边，否则就形成三角形，所以，之间恰有条边。10分对每个，至多与中的一个顶点相邻（否则设与相邻，则就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。）从而与之间的边数至多条。20分在这个顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多条边，因此G的边数30分如图给出的图共有15条边，且满足要求。综上所述，所求边数的最大值为15.50分四、（本题满分50分）设与均是素数，。数列的定义为，。这里表示不小于实数的最小整数。证明：对均有成立。证明：首先注意，是整数数列。对用数学归纳法。当时，由条件知，故。因与均是素数，且，故必须。因此，即时结论成立。对，设对成立，此时，故10分故对，有=20分因此由此知（注意是
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