2011年全国各地高中数学竞赛试题(不含答案).pdf

目录目录 2011 年北京市数学竞赛初赛 高一 2 2011 年北京市数学竞赛复赛 高一 3 2011 年江苏赛区初赛试题 4 2011 年江苏赛区复赛试题 5 2011 年湖北省预赛试题 高一 6 2011 年湖北省预赛试题 高二 7 2011 年河南省预赛试题 高一 8 2011 年河南省预赛试题 高二 10 2011 年福建省竞赛试题 高一 11 2011 年福建省预赛试题 13 2011 年天津市预赛试题 15 2011 年安徽省预赛试题 17 2011 年辽宁省预赛试题 19 2011 年四川省预赛试题 21 2011 年甘肃省预赛试题 23 2011 年内蒙古预赛试题 24 2011 年湖南省预赛试题 25 2011 年河北省预赛试题 26 2011 年浙江省预赛试题 28 2011 年陕西省预赛试题 30 2011 年山东省预赛试题 32 2011 年吉林省预赛试题 34 2011 年山西省预赛试题 36 2011 年北京市数学竞赛初赛 高一 年北京市数学竞赛初赛 高一 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 设函数 是偶函数 且 3 2 则 2 3 5 3 2的值为 A 12 B 16 C 17 D 8 2 若图中给出的函数 2 的图像与 轴只有一个公共点 则 为 A 0 B 1 C 2 D 4 3 函数 log1 16 1 16 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 定义在实数集 上的函数 对于每一个 和常数 0 都满 足 1 2 2 若函数 的值域记为 则 A 7 B 2 3 C 2 2 D 3 5 设 为正方形 内一点 1 2 3 则 的面积为 A 2 2 2 B 2 2 2 C 2 2 D 2 2 6 函数 是 上的奇函数 是 上周期为 4 的周期函数 已知 2 2 6 且 2 2 2 2 2 20 2 1 2则 0 的值为 A 2 B 1 C 0 D 1 二 填空题 每小题 8 分 共 64 分 1 计算tan22 5 2 设函数 的定义域为 且对任意 都有2 2 2 3 2 9 2 3 6 则 60 的值为 3 表示不超过 实数的最大整数 则在平面直角坐标系 中 满足 2011的所有点 组成的图形的面积为 4 如图 两同心圆的半径分别为6 10 矩形 的边 分 别为两圆的弦 当矩形面积最大值时 其周长为 5 已 知 1 1 2 则 1 2 2011 1 2 1 3 1 2011 6 已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程 2 0的两个根 则该直角三 角形外接圆的面积为 结果用含 和圆周率 的式子表示 7 若二次函数 2 2 满足 2 1 3 0 则实数 的取值范围 为 8 设 为 内一点 使得 且 90 已知 5 6 为 的中点 则 O x y C D B A 2011 年北京市数学竞赛复赛 高一 年北京市数学竞赛复赛 高一 一 填空题 每小题 8 分 共 40 分 1 二次三项式 2 的根是实数 且 22011 则这样的二次三项式共有 个 2 在半径为 1 的 中内接有锐角 是 的垂心 角平分线 垂直于 则 3 已知定义在 上的函数 2和 2 2 若 的最小 值为1 4 则 4 tan37 5 5 设 1 1 3 定义 1 1 2 3 则 2011 2011 二 15 分 已知 是正 边 上一点 设 的内心分别为 1 2外心 分别为 1 2证明 1 1 2 2 2 2 1 2 2 三 15 分 设 是正整数 记 1 2 求方程 1 2 11 2011的所有 正整数解 表示不超过实数 的最大整数 四 15 分 平面上的 个点 若其中任三个点中必有两个点的距离不大于 1 则称这样 的 个点为 标准 点组 要使一个半径为 1 的圆纸片对任意标准 点组都能至少盖住其中的 25 个点 试求 的最小值 五 15 分 已知函数 使得对任意实数 都有 1 2 1 2 1 4 求 1 1 2 2 2011 2011 的值 表示不超过实数 的最大整数 2011 年江苏赛区年江苏赛区初赛初赛试题试题 一 填空题 本体共 10 小题 满分 70 分 每小题 7 分 要求直接将答案写在横线上 1 复数 1 4 1 4 2 已知直线 1 0是圆 2 2 4 4 5 0的一条对称轴 则实数 3 某班共有 30 名学生 若随机抽查两位学生的作业 则班长或团支书的作业被抽中的概率是 结果用最简分数表示 4 已知cos4 1 5 则sin 4 cos4 5 已知向量 满足 2 3 则以向量2 与3 表示的有向线段为邻 边的平行四边形的面积为 6 设数列 的前 项和为 若 是首项及公比都为 2 的等比数列 则数列 3 的前 项和 等于 7 设函数 2 2 若 且0 则 的取值范围是 8 设 为数列 中小于 的项的个数 其中 2 则 2011 9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上 则此直角三角形的 斜边长是 10 已知 是正整数 且方程2 10 10 0有整数解 则 所有可能的值是 二 解答题 本大题共 4 小题 每小题 20 分 共 80 分 11 已知 2 2 1圆与抛物线 2 有公共点 求实数 的取值范围 12 设 2 若 2时 0且在区间 2 3 上的最大值为 1 求 2 2的最大值和最小值 13 如图 是 内一点 1 若 是 的内心 证明 90 1 2 2 若 90 1 2 且 90 1 2 证明 是 的内心 14 已知 是实数 且存在正整数 0 使得 0 为正有理数 证明 存在无穷多个正整数 使得 为有理数 P A BC 2011 年江苏赛区复赛试题年江苏赛区复赛试题 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 1 已知集合 1 3 1 2 4 2 4 2 则 的最大值是 7 已知 2 2 2011 且 则 8 若直线系 cos 1 sin 2中的三条直线围成正三角形区域 则区域 的面积为 二 解答题 9 16 分 设数列 的前 项和为 如果 1 1 2 5 1 2 求数列 的通 项公式 10 20 分 设 是椭圆 2 48 2 16 1上的一点 分别为点 关于 轴 原点 轴的对称 点 为椭圆 上异于 的点 且 与 的交点为 当 沿椭圆 运动时 求动点 的 轨迹方程 11 本题满分 20 分 三次函数 3 2 的图 像如图所示 直线 且直线 与函数 的图像切于 点 交于点 直线 与函数 的图像切于 交于点 设 分别为点 的横坐标 求证 1 2 1 y x B D C A 6 2011 年湖北省预赛试题 高一 年湖北省预赛试题 高一 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 直接将答案写在横线上 1 计算 sin210 sin220 sin230 sin290 2 设等差数列 的前 项和为 已知 12 21 则 3 4 9 10 3 已知 是 所在平面上一点 满足 2 3 则 与 的面积之比为 4 5 满足方程 2 8 16 0 0 2 的实数对 的个数为 6 已知函数 2 2 2的定义域为 其中 值域为 2 2 则符合条件的数组 为 7 设集合 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如果方程 2 0 至少有一个根 0 就称该方程 为合格方程 则合格方程的个数为 8 已知关于 的方程 2 2 在区间 1 1 上有两个不相等的实根 则实数 的取值范围是 二 解答题 本大题满分二 解答题 本大题满分 56 分 第分 第 9 题题 16 分 第分 第 10 题题 20 分 第分 第 11 题题 20 分 分 9 已知二次函数 2 的图像过点 1 13 且函数 1 2 是偶函数 1 求 的解析式 2 函数 的图像上是否存在这样的点 其横坐标是正整数 纵坐标是一个完全平方数 如果存在 求出这样的点的坐标 如果不存在 请说明理由 10 已知 关于 的方程 4 3 2 2 1 0有一个实根 求 2 2的最小值 11 已知数列 满足 1 1 3 1 2 2 证明 对一切 有 1 1 1 2 1 4 7 2011 年湖北省预赛试题 高二 年湖北省预赛试题 高二 一 填空题 本题满分 64 分 每小题 8 分 直接将答案写在横线上 1 已知 是 所在平面上一点 满足 2 3 则 与 的面积之比为 2 已 知 数 列 满 足 1 2 2 1 1 2 1 2 则 1 2 2011 3 已知 如果集合 sin cos2 cos sin2 则所有符合要求的角 构成的集合为 4 满足方程 2 8 16 0 0 2 的实数对 的个数为 5 设 是模为 2 的复数 则 1 的最大值与最小值的和为 6 对一切满足 1的实数 不等式 2 3 3 2 1 2 3 恒成立 则实数 的 最小值为 7 设集合 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 如果方程 2 0 至少有一个根 0 就称该方程 为合格方程 则合格方程的个数为 8 已知关于 的方程 2 2 在区间 1 1 上有两个不相等的实根 则实数 的取值范围是 二 解答题 本大题满分二 解答题 本大题满分 56 分 第分 第 9 题题 16 分 第分 第 10 题题 20 分 第分 第 11 题题 20 分 分 9 已知二次函数 2 的图像过点 1 13 且函数 1 2 是偶函数 1 求 的解析式 2 函数 的图像上是否存在这样的点 其横坐标是正整数 纵坐标是一个完全平方数 如果 存在 求出这样的点的坐标 如果不存在 请说明理由 10 已知数列 满足 1 1 3 1 2 2 证明 对一切 有 1 1 1 2 1 4 11 已知椭圆 2 4 2 2 1 过点 2 3 1 3 而不过点 2 1 的动直线 交椭圆 于 两点 1 求 2 记 的面积为 证明 5 若集合 使得 成立 则集合 2 若一元二次函数 2 满足 4 1 1 1 2 5 则 3 的取值范围是 3 若圆 3 2 5 2 2上有且只有两个点到直线 4 3 2的距离为1 则 的 取值范围是 4 已知函数 log 2 0 8 若 是互不相当的实数 且 则 的取值范围是 5 底面半径为2 的圆柱形容器内放有四个半径为1 的实心铁球 四个球两两相切 其中 底层两球与容器底面相切 现往容器内注水 使水面恰好浸没所有铁球 则需注水 3 6 设函数 2 0 则 1 8 在1 2 3 100这个 100 个整数中 能表示为 形式的整数有 个 其中 是 实数 表示不超过实数 的最大整数 9 以下两题请同学们任选一题作答 若两题都做 则按上面一题正误判分 必修 3 甲乙两人相约在 20 时至 21 时之间在某德克士餐厅见面 早到者到达后应等 15 分钟方可离去 假设两人到达的时刻是互不影响的 且 20 时至 21 时之间的任何时刻到达相 约地点都是等可能的 则他们两人见面的概率为 必修 4 在 中 2 4 是 的外 心 则 10 集合 2011 2010 1 0 1 2 2011 将 的所有非空子集记为 1 24023 1 若 每一个非空子集 中所有元素的乘积记为 其中 单 元素集 若每一个非空子集中所有元素的乘积记为 其 中 单元素集合的所有元素之积定义为此元素的值 则 所有的 的和 1 2 24023 1 二 本题满分 20 分 如图所示 分别为锐 角 的边 上的高 交 过点 的外 接圆切线于 交 于 证明 1 2 三 本题满分15分 如图所示 四边形 是矩形 平面 其中 3 4 1 若在线段 上存在点 使得 求线段 的 长度的取值范围 N M F E D A BC D A B C P 9 2 当线段 上有且只有一个点 使得 时 求二面角 正切值的大小 四 本题满分 15 分 以下两题请同学们任选一题作答 如两题都做 则按上面一题正 误判分 必修 3 骰子是一个质地均匀的正方体 6 个面上分别刻有1 2 3 4 5 6 现桌子上有 2 只完 全相同的骰子 定义一次操作如下 将桌子上的骰子全部掷出 然后去掉那些奇数点的骰子 若果桌子上还有骰子 则重复上面的操作 求操作 3 次后桌面上至少还有一个骰子的概率 必修 4 已知 是锐角 的外接圆圆心 2011 515 若 其中 且 206 103 求cos 的值 五 本题满分 20 分 定义在 上的函数 满足以下三个条件 0 0 对任意的 1 1 都有 1 1 1 当 0 1 时 3 1 13 1 21 1 2 5 7 1 3 六 本题满分 20 分 给定集合 1 2 3 若集合 且对于 中任意两个元 素 可以相同 都有 则称集合 为 不和谐的 已知集合 是 的不和谐子集 求 的最大值 其中 表示集合 的元素的个数 10 2011 年河南省预赛试题年河南省预赛试题 高二高二 一 填空题 共 8 小题 每小题 8 分 满分 64 分 1 如图所示 程序框图 算法流程图 2 若 ln2 2 ln3 3 ln ln2 72 2 72 10ln10 20 则 的大小 按从小到大 顺序 为 3 若 是方程 10 2011的解 是方程 lg 2011的解 则 4 已知 0 0 若 表示1 及 2 2这三个数中的最小者 当 变化时 的最大值为 5 已知在半径为 5 的球面上有 四点 若 6 8 则四面体 的体积的 最大值为 6 若 且 10 1 则1 2 3 2009 2010 7 在棱长为 1 米的正四面体 中 有一小虫从顶点 处开始按一下规则爬行 在每一顶 点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一 并一直爬到这条棱的尽头 记小虫爬了 米后重新回到点 的概率为 则 4 8 函数 4 3 2 6 10 4 3 2 2 5的最大值为 二 本题满分 16 分 设 0 函数 3 在 1 上是单调函数 1 求 的取值范围 2 若 0 1 并满足 0 1 0 0 求证 0 0 三 本题满分 20 分 如图 已知四棱锥 底面 为菱形 平面 60 分别是 的中点 1 证明 2 若 为 上的动点 与平面 所成最大角的正切值为 6 2 求二面角 的余弦值 四 本题满分 20 分 在平面直角坐标系 中 以原点 为圆 心 分别以 0 为半径作两个圆 点 是大圆半径 与 小圆的交点 过点 作 垂足为 过点 作 垂足为 记当半径 绕点 旋 转时点 的轨迹为曲线 1 求曲线 的方程 2 设 为曲线 上的三点 且满足 0 求 的面积 五 本题满分 20 分 已知tan 2 1 函数 2tan2 sin 2 4 其中 0 2 1 求 的解析式 2 若数列 满足 1 1 2 1 求证 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 F E A B C D P 11 2011 年福建省竞赛试题年福建省竞赛试题 高一 高一 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 已知集合 1 3 2 4 2 若关于 的方程 恰有三个不同的实根 则 的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 D 1 4 若直线 3 2 0与曲线 4 2有公共点 则 的取值范围是 A 2 5 12 5 B 2 5 C 12 5 D 2 5 12 5 5 如图 1 1 1 1为正方体 给出下列 5 个命题 1 平面 1 1 2 1 平面 1 1 3 1与底面 所成角的正切值是 2 4 二面角 1 1 1的正切值是 2 5 过点 1与异面直线 和 1成70 角的直线只 有 2 条 其中正确的命题有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 已知函数 是定义在 上的偶函数 对于任意 都有 6 3 成立 且 在区间 0 3 上是增函数 则方程 0在区间 0 2011 内的实根个数为 A 334 B 335 C 668 D 770 二 填空题 每小题 6 分 共 36 分 7 若点 1 3 与点 2 0 关于直线 6 5 0对称 则 8 已知正三棱锥 的底面正三角形的边长为 3 若三棱锥 外接球的球心 在平 面 内 则三棱锥 的体积为 9 已知 0 1 则 2 2 的最小值为 10 已知函数 2 其中 1 若 1 1 时 1 1 1 1 为整数 则 三 解答题 第 13 14 15 16 题每题 16 分 第 17 题 14 分 满分 78 分 13 已知 1 1 1 2 B1 C1D1 CD A B A1 12 1 求函数 的值域 2 求函数 的最小值 14 已知动直线 1 1 2 6 0 与圆 2 2 1 2 4交于 两点 1 若点 分圆 所得两段弧的长度之比为2 1 求 的值 2 过点 作 于点 求点 的轨迹方程 15 已知抛物线 2 2 2 1 1与射线 交于不同的两点 1 求 的取值范围 2 若 为坐标原点 的面积为 2 求 的 值 16 如图 在 中 点 在边 上 且 为 外接圆的切线 且直线 过 的内心 求证 17 对一个3 3 行 列 的格阵中的每一个方格 用红 蓝两种颜色中的一种染色 如果对任意一种染色方案总可以找到由 2 行 3 列相交处的 同色的 6 个方格 2 行可以不相邻 3 列也可以不相邻 求 的最小值 E I D A B C 13 2011 年福建省预赛年福建省预赛试题试题 一 填空题 共 10 小题 每小题 6 分 满分 60 分 请直接将答案写在题中的横线上 1 函数 sin4 sin cos cos4 的最大值为 2 已知 分别是等差数列 与 的前 项的和 且 2 1 4 2 1 2 则 10 3 18 11 6 15 3 若函数 log 4 在区间 1 2 上为增函数 则 的取值范围是 4 如图 在四面体 中 已知 平面 是边长为 2 的正三角形 则当二 面角 的正切值为 2 时 四面体 的体积 5 已知定义在 上的函数满足 1 1 1 2 当0 0 3 对任意 的实数 均有 2 1 则 1 3 6 已知实数 满足条件3 2 4 2 48 则 2 2 4 4 2 2 2 4 5 的最大值为 7 已知正整数 满足条件 14 14 14 且 其图像过点 1 0 并与直线 有公共点 求证 0 1 13 如图 设锐角 的外接圆为圆 过点 作圆 的两条 切线 相交于点 连接 交 于点 点 分别在边 上 使得 求证 1 2 2 2 14 已知 1 为自然对数的底数 1 求证 恒成立 E F D P O A B C 14 2 求证 1 2 3 2 5 2 2 1 2 成立 则实数 的取值范围是 A 2 B 2 C 2 D 2 2 已知函数 有反函数 1 将 的图像绕 1 1 逆时针旋转90 所得曲 线的方程是 A 1 2 B 1 2 C 1 1 1 D 1 1 1 3 设 为正整数 1 1 1 1 1则 A B C D 以上都有可能 4 若直线 3与曲线 相切 则实数 的值是 A 4 B 2 C 2 D 4 5 在半径为 1 的 上 取一个定点 和一个动点 设点 满足 且 1 则 点 的轨迹是 A 椭圆 B 抛物线 C 双曲线 D 以上都有可能 6 将 9展开之后再合并同类项 所得的多项式的项数是 A 9 4 B 93 C 124 D 12 3 二 填空题 每小题 9 分 共 54 分 1 九个正实数 1 2 9构成等比数列 且 1 2 3 4 3 4 5 6 15 则 7 8 9 等于 2 设 是正四棱锥 其中 3 2 以 为球心 以 1 为半径作一个球 则这个 球与正四棱锥相交部分的体积是 3 若实数 满足 log3tan log3tan 且 6 则 的值是 4 设 是双曲线的两个焦点 在双曲线上 已知 的三边长成等差数列 且 120 则双曲线的离心率为 5 函数 的定义域为 0 且满足 2 1 3 2 0 则 的最小值是 6 复数 满足 3 2 2 6 则 等于 三 解答题 每小题 20 分 共 60 分 每小题只设 0 分 5 分 10 分 15 分 20 分五档 1 在四面体 中 平面 1时 1 1 4 2 证明 1 1 1 2 1 1 3 2 17 2011 年安徽省预赛年安徽省预赛试题试题 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 8 分 共分 共 64 分 分 1 以 表示集合 的元素个数 若有限集合 满足 20 30 40 则 的最大可能值为 2 设 是正实数 若 2 6 10 2 2 2 5 2 的最小值为 10 则 3 已知实系数多项式 4 3 2 满足 1 2 2 4 3 6 则 0 4 的所有可能值集合为 4 设 展 开 式 5 1 0 1 2011 若 2011 max 0 1 则 5 在如图所示的长方体 中 设P是矩形 的中心 线段 交平面 于点 若 3 2 1 则 6 平面上一个半径 的动圆沿边长 的正三角形的外侧滚动 其扫 过区域的面积为 7 设直角坐标平面上的点 与复数 一一对应 若点 分别对应复数 1 则直线 与 轴的交点对应复数 用 表示 8 设 是大于 4 的偶数 随机选取正 边形的 4 个顶点构造四边形 得到矩形的概率为 二 解答题 第二 解答题 第 9 10 题每题题每题 22 分 第分 第 11 12 题每题题每题 21 分 共分 共 86 分 分 9 已知数列 满足 1 1 1 1 1 2 4 3 求 的通项公式 10 已知正整数 1 2 都是合数 并且两两互素 求证 1 1 1 2 1 1 2 11 设 3 是实数 当0 1时 0 1 求 的最大可能 值 12 设点 1 0 1 0 2 0 在双曲线 2 2 1的左支上 直线 交双曲 线 2 2 1的右支于点 求证 直线 与 的交点 在直线 1 2上 a r F GH C A D B E 18 y x P E C A B D 19 2011 年辽宁年辽宁省省预赛预赛试题试题 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 已知 则 1 且 1 是 0 的离心率为1 2 1 2为左 右焦点 过 2的直线与椭圆交 20 于 两点 若 1 面积的最大值为 6 求椭圆的方程 15 如图 四边形 为 的内接四边形 对边 交于点 交于点 的外接圆与 的另一交 点为 与 交于点 与 交于点 证明 1 为 的中点 2 四点共圆 16 已知定义在 上的函数 具有下列性质 0 1 2 1 1 1 0 1 1 当 为定值时 记 1 求 的表达式 2 对 证明 1 4 0 若函数 100 的最大值为 求 的最小值 14 已知函数 2 sin4 cos4 sin cos 4在 0 2 有最大值 5 求实数 的 值 15 抛物线 2与过点 1 1 的直线 交于 1 2两点 求直线 的斜率 的取值范围 求在线段 1 2上满足条件 1 1 1 2 2 的点 的轨迹方程 16 已知 为实数 数列 的前 项和为 满足 9 8 4 3 3 且 64 3 对任 何的正整数 恒成立 23 2011 年年甘肃甘肃省省预赛预赛试题试题 一 填空题 每小题 7 分 共 56 分 1 已 知 集 合 2 6 3 0 7 则 的 非 空 子 集 的 个 数 为 2 若 sin2 tan 2 0 则 2 2 3 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为1 2的球 则此正四棱锥的体积是 4 在平面直角坐标系中 点 1 2 4 1 圆 2 2 25上的动点 与点 形成三角 形 则 的最大值为 5 将正整数1 2 7任意分成两组 使得每组至少有一个数 则第一组数的和与第二组数的 和相等的概率是 6 数列满足 0 1 4 及对于自然数 1 2 则 1 1 2011 0 的整数部分是 7 四次多项式 的四个实根构成公差为 2 的等差数列 则 的所有根中最大根与最下 根之差是 8 表示不超过实数 的最大整数 在平面上由满足 2 2 50的点所形成的图形的 面积是 二 解答题 共 64 分 9 14 分 已知正项数列 满足 1 1 2012 2 2 3是整数 3 数列 2 是公比不大于 10 的等比数列 求数列 的通项公式 10 已知 1 2为双曲线 2 2 1的左 右焦点 点 在曲线 上 若 1 2 3 求 1 2 11 设 1 2 为正数 且 1 2 1 证明 1 2 2 1 1 12 设 11 是正整数 由不大于 的连续 10 个正整数的和组成集合 由不大于 的连 续 11 个正整数的和组成集合 若 的元素个数是 181 求 的最大值和最小值 24 2011 年内蒙古预赛试题年内蒙古预赛试题 一 填空题 1 函数 2 10 9 2 50 184的最大值为 2 各位数字之和等于 11 的四位数的个数为 3 数列 前 项和 为 且 1 1 3 2 2 3 则 1 1 4 方程 2 8 7 0的所有解为 5 已知正四棱锥中 的侧面与底面所成的角都为 3 由它的外接球半径 与内切球半 径 的比为 6 若在复平面上三个点 0 0 0 构成以为顶点的等腰直角三角形 其中 0 1 3 2 3 则三角形的面积为 7 100的展开式中 各项系数和为 8 设 为正实数 若满足条件 的点 都被单位圆覆盖 则 的最大值 为 二 解答题 9 已知椭圆 过点 2 1 两个焦点分别为 6 0 和 6 0 为坐标原点 平行于 的直 线 交椭圆 于不同的两点 求 面积的最大值 10 已知实数 1 2 满足 1且 1 0 求证 对于满足 1任意实数 均 有 1 11 如图 在 中 点 为其垂心 60 直线 分别交 的外接圆于 两 点 求证 H E D C B A 25 2011 年湖南省年湖南省预赛预赛试题试题 一 填空题 本大题共 10 小题 每小题 7 分 满分 70 分 1 已知函数 3 2 1 在区间 2 3 1 3 内为减函数 在区间 1 3 内为增函数 则 2 设 是两个集合 称 为一个 对子 当 时 将 与 视为不同的 对子 满足条件 1 2 3 4 的不同的对子 的个数为 3 设函数 2 若 0 则你对函数 在区间 1 中 零点存在情况的判断是 4 已知椭圆 2 2 2 1的两个焦点分别为 1 2点 0 0 满足0 0 求证 1 2 ln 1 2 2 从编号为 1 到 100 的 100 张卡片中 每次随机地抽取 1 张 然后放回 用这种方式连续 抽取 20 次 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 求证 1 2 14 本小题满分 20 分 如图所示 已知由 的顶点 引出的两条射线 分 别交 于点 求证 2 2 成立 的充要条件是 BC A XY 26 2011 年河北省年河北省预赛预赛试题试题 一 填空题 将每小题的答案填在题后的横线上 本大题共 8 小题 每小题 9 分 满分 72 分 1 已知数列 满足 1 2 2 1 1 403 2011 则 5的最大值为 2 若 均为正整数 且 5 5的值恰好是由一个 2 一个 0 两个 1 组成的四位数 则满 足条件的所有四位数是 3 已知 2 2 2 1 则 的值域为 4 标号1 2 13号共 4 中颜色的卡片共计 52 张 加上两张空白卡片 平均放入三个不同的 盒子 若某个盒子中有两张空白卡片 4 张 1 且2 3 13号卡片各一张 称该盒是 超级盒 则出现超级盒的概率为 列出算式即可 5 已知 1 1 2 3 2 3 1 2 当 时 的值都能被 9 整除 则 的最小值为 6 函数 1 1 2 2 3 2010 2011的图像的对称中心为 7 6 名大学毕业生到 3 个用人单位应聘 若每个单位至少录用其中一人 则不同的录用情况 的种数是 8 已知 为坐标原点 4 0 5 0 过 作 轴的垂线 是这垂线上的动点 以 为圆心 为半径作圆 1 2是圆的切线 则 1 2垂心的轨迹方程是 二 解答题 本大题共 6 小题 每题的解答均要求有推理过程 9 10 11 12 小题各 12 分 13 14 小题各 15 分 共 78 分 9 解不等式 1 2 1 2 1 10 如图 已知 是圆 2 2 4与 轴的两个交点 为直线 4上的动点 与圆 2 2 4的另 一个交点分别为 求证 直线 过定点 11 求证 23时 总有2 1 1 23 1 33 1 3 0 1 求数列 的通项 x 4 y x M N A B P 27 2 证明 1 32 1 1 3 设 是数列 的前 项和 当 2时 与 23 18 的大小关系是否确定 请说明 理由 28 2011 年浙江省年浙江省预赛预赛试题试题 一 选择题 本大题共有 10 小题 每题只有一个正确答案 将正确答案的序号填入题干后 的括号里 多选 不选 错选均不得分 每题 5 分 共 50 分 1 已知 5 4 3 2 则 1 2 1 2 可化简为 A 2sin B 2sin C 2cos D 2cos 2 如果复数 2 1 的模为4 则实数 的值为 A 2 B 2 2 C 2 D 2 2 3 设 为两个互不相同的集合 命题 命题 或 则 是 的 A 充分且必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分且非必要条件 4 过椭圆 2 2 2 1的右焦点 2作倾斜角为45 弦 则 为 A 2 6 3 B 4 6 3 C 4 2 3 D 4 3 3 5 函数 1 5 0 5 1 0的解为 A 3或 2或 3或 1 D 1 0 交于不同的两点 若点 在 轴上 的射影恰好为椭圆的两个焦点 则该椭圆的离心率是 5 在数阵中 11 12 13 21 22 23 31 32 33 每行的三个数依次成等差数列 每列的三个数也依次成等差数列 若 22 2 则所有这九 个数的和等于 6 如图 矩形 的四个顶点的坐标依次为 0 0 2 0 2 2 0 2 记边 与函数 1 0 2 的图像围成的区域为 若向矩形 内任意投一点 则点 落 在区域 内的概率是 7 设函数 1 0 其中 互 质 且 2 则 满 足 0 1 且 1 5 的 值的个数是 8 已知 都是质数 且7 2 11也都是质数 则 9 在侧棱长和底面边长都是 4 的正四棱锥 的表面上与顶点 的距离为 3 的动点所 形成的所有曲线段的长度之和为 10 现代社会对破译密码的要求越来越高 在密码学中 直接可以看到的内容为明码 对明 码进行某种处理后得到的内容为密码 有一种密码将英文的 26 个字母 不论大小 写 依次对应1 2 26这 26 个自然数 见表 1 表 1 a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 给出明码对应的序号 和密码对应的序号 的变换公式 y x C O B A 31 1 2 为奇数 且 1 x 26 2 13 为偶数 且 1 x 26 利用它可将明码转换成密码 如5 5 1 2 3 即 变成 8 8 2 13 17 即 变成 按 上述公式 若将某明码译成的密码是 则原来的明码是 第二试第二试 一 20 分 设函数 cos cos 1 2 cos 其中 0 已知当 3时 取得最大值 1 求 的值 2 设 2 3 2 求函数 在 0 3 上的最小值 二 20 分 设 为直线 2上的动点 过 作抛物线 1 2 2的切线 切点分别为 1 证明 直线过定点 2 过 面积 的最小值 以及取得最小值 时 点的坐标 三 20分 如图 在圆内接四边形 中 对角线 与 交于点 且 60 延长 交于点 证明 为 的 外心 四 如图 为 的中线 的中点 过 的 直线分别与边 交于点 设 记 1 求函数 的表达式 2 设 3 3 2 2 0 1 若对 任 意 1 1 3 1 总 存 在 2 0 1 使 得 1 2 成立 求实数 的取值范围 五 30 分 设正整数 4 证明 0 1 4 4 1 5 5 1 1 其中 表示不超过实数 的最大整数 E F D A B C P M D A BC Q 32 2011 年山东年山东省省预赛预赛试题试题 一 选择题 每小题 6 分 共 60 分 1 已知集合 1 3 5 0 2 4 6 0 所得的弦长相等且 不为零 则下列描述正确的是 A 3 2 5 2 B 3 2 C 3 2 5 2 D 3 2 7 有六名同学咨询成绩 老师说 甲不是六人中成绩最好的 乙不是六人中成绩最差的 而 且六人的成绩各不相同 则他们六人的成绩不同的可能排序共有 种 A 120 B 216 C 384 D 504 8 若