2013年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷.pdf

绝密绝密 启用前启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南卷 数学 理工农医类 数学 理工农医类 本试卷包括选择题 填空题和解答题三部分 共本试卷包括选择题 填空题和解答题三部分 共 5 页 时量页 时量 120 分钟 满分分钟 满分 150 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 复数 1ziii 为虚数单位在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案 B 解析 z i 1 i i 1 所以对应点 1 1 选 B 选 B 2 某学校有男 女学生各 500 名 为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显 著差异 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查 则宜采用的抽样方法是 A 抽签法 B 随机数法 C 系统抽样法 D 分层抽样法 答案 D 解析 因为抽样的目的与男女性别有关 所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例 选 D 3 在锐角中ABC 角 A B所对的边长分别为 a b 若2 sin3 aBbA 则角 等于 A 12 B 6 C 4 D 3 答案 D 解析 3 A 22 3 sinA sinB3 sinB2sinA 得b3 2asinB由 1 所以 g 2 f 2 从图像上可知交点个数为 2 选 B 6 已知 a b是单位向量 0a b 若向量c满足1 cabc 则的取值范围是 A 2 1 2 1 B 2 1 2 2 C 1 2 1 D 1 2 2 答案 A 解析 向量之差的向量与即一个模为单位c2 1 c ba ba c 2 ba 向量 是b a Q的模 为 1 可以在单位圆中解得12 1 2 c 选 A 7 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形 则该正方体的正视图的 面积不可能 等于 A 1 B 2 C 2 1 2 D 2 1 2 答案 C 解析 由题知 正方体的棱长为 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 的两个焦点 P 是 C 上一点 若 2 1 6 PFPFa 且 12 PFF 的最小内角为30o 则 C 的离心率为 答案 3 解析 设 P 点在右支上 anam anm anm PFnPFm2 4 2 6 21 则 2 3 3 4 1 82 4416 30cos 30 222 2121 a c c a ac aca FPFFPF由余弦定理得中 由题知 3 a c e 15 设 n S为数列 n a的前 n 项和 1 1 2 n nn n SanN 则 1 3 a 2 12100 SSS 答案 3 解析 设 P 点在右支上 anam anm anm PFnPFm2 4 2 6 21 则 16 设函数 0 0 xxx f xabccacb 其中 1 记集合 Ma b c a b ca 不能构成一个三角形的三条边长 且 b 则 a b cM 所 对应的 f x的零点的取值集合为 10 答案 10 解析 a c x a c c a ccaxfabacac xxxxx ln 2ln 2 0 1 2 2 2 令由题知 10 ln 2ln 0 ln 2ln 2ln 2ln 02lnln 2 又 a c x a c a c a c Q 所以 f x 的零点集合为 10 2 若 a b cABC 是的三条边长 则下列结论正确的是 写出所有正确 结论的序号 1 0 xf x xxx xRxa b c 使不能构成一个三角形的三条边长 若 1 2 0 ABCxf x 为钝角三角形 则使 答案 解析 01 1 1 1 1 1 11 c cba c b c a c b c a x c b c a c b c a cxf xxxxx Q 1 所以 正确 2 1 1 2 1 1边长不能构成三角形的三条则令 xxx cbacbax所以 正确 0 2 0 1 0 222222 ADACyyyBDAC 的一个法向量平面则的法向量为设平面303 313 0 0 1 1 1 ADnACD ADn ACn nACD 7 21 37 33 cos sin003 313 1 的焦点 F 作斜率分别为 12 k k的两条不同的直线 12 l l 且 12 2kk 1 lE与相交于点 A B 2 lE与相交于点 C D 以 AB CD 为直径的圆 M 圆 N M N 为圆心 的 公共弦所在的直线记为l I 若 12 0 0kk 证明 2 2FM FNP uuuu r uuur II 若点 M 到直线l的距离的最小值为 75 5 求抛物线 E 的方程 答案 见下 yx16 2 解析 设 2 0 3434121244332211 yxNyxMyxDyxCyxByxA p F 02 2 2 1 2 11 pxpkxE p xkyl 方程联立 化简整理得与抛物线方程 直线 2 2 0 2 2 11 2 1121 21 12 2 21121 pkpkFM p pkypk xx xpxxpkxx 2 2 2 22 2 2342 21 34 pkpkFN p pkypk xx x 同理 1 2121 22 2 2 2 1 2 21 kkkkppkkpkkFNFM 22 2121 2 2121212121 2 11 1 1 122 0 0ppkkkkpFNFMkkkkkkkkkk Q 所以 2 2pFNFM 函数 2 xa fx xa I 记 0 4fxa在 区 间上 的 最 大 值 为 g 求ag 的表达式 II 是否存在a 使函数 yf x 在区间 0 4内的图像上存在两点 在该两点处的切线相互垂 直 若存在 求a的取值范围 若不存在 请说明理由 答案 时当 时当 1 2 1 1 0 24 3 1 g a a a a a 2 1 0 解析 时 是单调递减的 当 时 是单调递增的 或当 axa ax a ax ax axax ax a ax ax xfa 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 0 2 1 2 3 1 0 4 0 4 a a fxxfa为上单调递减 其最大值在时 由上知 当 上单调递增 上单调递减 在在时 当 4 0 4aaxfa 0 4 1 4 1 2 1 0 24 3 1 4 fagaaf a a f的最大值为时 即当解得 令 4 1 0 faga的最大值为时 当 时当 时当 1 2 1 1 0 24 3 1 综上 g a a a a a II 由前知 y f x 的图像是由两段反比例函数的图像组成的 因此 若在图像上存在两点 2211 yxQyxP满足题目要求 则 P Q 分别在两个图像上 且1 21 xfxf 40 2 2 3 2 2 3 2 2 a axa ax a axax ax a xf时当 时或当 不妨设 2 2 3 8 0 1 2 3 2 3 2121 2 2 2 1 axaxaaxax ax a ax a 8 2 423 0 2 423 34 20 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2121 xa a ax aaxa ax aaxa