湖南省长郡中学2013年高三4月模拟考试数学试题(理科).doc

湖南省长郡中学2013年高三五月模拟考试数学试题（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则AB=（ ）ABCD2已知是两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题不正确的是（ ）ABCD3羊娃是第16届广州亚运会吉祥物，每组羊娃都由“阿祥”、“阿和”、“阿如”、“阿意”和“乐羊羊”这五只羊组成，现将同一组羊娃随机分配给甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者，则甲或乙得到“阿祥”、丙不得“乐羊羊“的方法种数为（ ）A24B36C48D544已知平面区域，若在区域上随机扔一个点P，则点P落在区域M的概率为（ ）ABCD5设有算法如下：如果输入A=2010，B=99，则输出的结果是（ ）A0B3C6D96若二项式的展开式中的常数项为为无理数），则（ ）A-2B0C1D27给出下列四个结论：命题“”的否定是“”；给出四个函数，则在R上是增函数的函数有3个；已知，则“不等式成立”的充要条件是“”；若复数是纯虚数， 则实数的值为-3或1。其中正确的个数是（ ）A0B1C2D38给出数列在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是（ ）A4900B4901C5000D5001二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。9为了调制一种饮料，在每10kg半成品饮料中加入柠檬汁进行试验，加入量为500g到1500g之间，现用0.618法选取试点找到最优加入量，则第二个试点应选取在 g。10如图，AC为O的直径，弦于点P，PC=2，PA=8，则的值为 。11正三棱柱的底面边长为，高为，则它的外接球的表面积为 cm2.（结果保留）12若曲线与曲线为参数，为常数，）有两个交点A、B，且|AB|=2，则实数的值为 。13设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 。14已知M是内的一点（不含边界），且，若的面积分别为 （1） ； （2）定义，则的最小值是 。15设代数方程有个不同的根，则，比较两边的系数得 （用表示）；若已知展开式对成立，则由于有无穷多个根：于是，利用上述结论可得 。三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分12分）已知向量，定义 （1）求函数的单调递减区间； （2）若函数为偶函数，求的值。17（本小题满分12分）“上海世博会”于2010年5月1日至10月31日在上海举行，世博会“中国馆贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄，海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局举办“中国2010年上海世博会”中国馆贵宾厅艺术品方案征集活动，某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应证，假设代表中有中国画、书法、油画入选“中国馆贵宾厅”的概率均为，陶艺入选“中国馆贵宾厅”的概率为。 （1）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆贵宾厅”的概率； （2）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆贵宾厅”的作品件数为随机变量，求的数学期望。18（本小题满分12分）下图分别为三棱锥SABC的直观图与三视图，在直观图中，M、N分别为AB、SB的中点。 （1）求证：； （2）求二面角MNCB的余弦值。19（本小题满分13分）张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值万元与投入万元之间满足：为常数。当万元时，万元；当万元时，万元。（参考数据：） （1）求的解析式； （2）求该景点改造升级后旅游利润的最大值。（利润=旅游增加值-投入）20（本小题满分13分）已知数列满足，点在直线上，数列满足 （1）求的值； （2）求证：21（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为的动直线交椭圆于A、B两点，在轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。参考答案一、选择题ADBC BDCB二、填空题988210111221314（1）1 （2）3615 三、解答题16解：（1）4分令得单调递减区间是6分 （2），由为偶函数，则在处取最大值或最小值。又，得12分注：少写一解扣1分17解：记“该地美术馆选送的中国画、书法、油画中恰有件作品入选中国馆贵宾厅”为事件记“代表作中陶艺入选中国馆贵宾厅”为事件B。 （1）4分 （2）的取值为0，1，2，3，45分的分布列是为01234P10分612分18解：（1）由题意知：，侧面底面ABC，度面为正三角形，取AC的中点O，连结OS，OB。平面OSB，4分 （2）如图所示建立空间直角坐标系，则设为平面CMN的一个法向量，则取得所以8分又由上可得设为平面NBC的法向量则得取，则10分所以所以二面角MNCB的余弦值为（12分）注：有其他方法相应记分。19解：（1）由条件2分解得4分则6分 （2）由则10分令（舍）或当时，因此在（10，50）上是增函数；当时，因此在（0，+）上是减函数，为的极大值点12分即该景点改造升级后旅游利润）的最大值为万元。13分20解：（1）点在直线上，即是以2为首项，2为公比的等比数列2分又5分当时，则6分 （2）由（1）知9分时，612分13分另证：当时（仅当取等号），即当时，而显然成立12分即13分21解：（1）设 由由得2分又