市第一中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题（解析版）

长沙市第一中学20192020学年度高一第一学期期中考试数学一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系以及表示方法即可求解.【详解】由，可得表示的是奇数，所以，故选：B【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系以及表示方法，属于基础题.2.下列函数既是偶函数又有零点是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义以及函数的零点定义即可求解.【详解】对于A，函数为偶函数，令，方程无解，故函数无零点，A不选；对于B，函数为偶函数，令，方程无解，故函数无零点，B不选；对于C，函数为非奇非偶函数，C不选；对于D，函数为偶函数，令，解得，故函数有零点，D符合题意；故选：D【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的零点，需掌握函数奇偶性定义和零点定义，属于基础题.3.函数f（x），g（x）由如下表格给出，则f（g（3）=（） x1234f（x）2431g（x）3124A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】通过表格求出g（3）的值，然后求解f（g（3）的值【详解】由表格可知，g（3）2，f（g（3）f（2）4故选A【点睛】本题考查函数值的求法，考查两次对应，考查计算能力4.函数为定义在R上的奇函数，当时，则( )A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，进而求出，再利用函数为奇函数可得，代入解析式即可求解【详解】由函数为定义在R上的奇函数，当时，则，即，解得，所以又，所以，故选：C【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，解题的关键是求出参数值，属于基础题.5.函数与互为反函数，且过点，则( )A. B. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】利用反函数的定义以及性质求出的解析式，代入即可求解.【详解】由题意可得，又过点，则在上，即，解得，所以，所以，故选：A【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的关系以及反函数的性质，属于基础题.6.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是( )x01230.3712.727.3920.0912345A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用零点存在性定理即可判断.【详解】令，由表中数据可得，所以，故函数零点所在的区间为.故选：C【点睛】本题考查了零点存在性定理应用，需熟记定理的内容，属于基础题.7.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面中，D为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】取的中点，连接，得或其补角为所求，在中求解角即可.【详解】如图，取的中点，连接，则，故或其补角为所求异面直线与所成的角，又，所以为等边三角形，所以，故选：C【点睛】本题考查了求异面直线所成角的大小，解题的关键是找到与异面直线所成角的大小相等的两角，属于基础题.8.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求音量大小的单位是分贝,对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算： (其中是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设的声音强度为，的声音强度为，则是的（ ）A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍【答案】B【解析】【分析】根据题意代入，得到方程组，然后将两式相减，整理化简后得到的值，得到答案.【详解】因为，代入，得，两式相减，得得到，即，故选：B.【点睛】本题考查利用已知函数模型解决问题，对数运算公式，属于简单题.9.下列不等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，即可判断.【详解】对于A，为增函数，故A正确；对于B，为增函数，故B正确；对于C， ，故C 正确；对于D，为减函数，则，故D不正确；故选：D【点睛】本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的性质，属于基础题.10.若三棱锥中，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处设球的半径为 R，则 表面积为 故答案为B.【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.11.已知函数，若、，使得成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】对的范围分类讨论，当时，函数在上递增，在上递减，即可判断：、，使得成立. 当时，函数在上单调递增，即可判断：一定不存在、，使得成立，问题得解.【详解】当时，函数在上递增，在上递减，则：、，使得成立.当时，函数在上递增，在也递增，又，所以函数在上单调递增，此时一定不存在、，使得成立.故选B【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题12.已知表示不超过的最大整数，例如，方程的解集为，集合，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论的取值范围，求出集合B，由，列出满足条件的不等式组，解不等式即可求解.【详解】由题意可得，解得或 ，所以或，所以 ，当时，由，则，解得；当时，此时不成立，故不取； 当时，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13.已知幂函数经过点，则_.【答案】【解析】【分析】设出幂函数，求出幂函数的表达式即可求解.【详解】设幂函数，由题意可得，解得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查了幂函数的定义以及求幂函数的函数值，需掌握幂函数的定义，属于基础题.14.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性以及对数函数的定义域可得 ，解不等式组即可.【详解】因为为减函数，则，解得，故不等式的解集为，故答案为：【点睛】本题考查了解对数型函数的不等式，考查了函数的单调性，属于基础题.15.碳的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳的“半衰期”是年，即碳大约每经过年就衰变为原来的一半.科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳.动植物在生长过程中衰变的碳，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳含量保持不变.死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳就按其确定的规律衰变.经探测，一块鸟化石中碳的残留量约为原始含量的.设这只鸟是距探测时年前死亡的，则满足的等式为_.【答案】【解析】【分析】列出等式，两边取自然对数即可求求解.【详解】根据题意可知鸟化石中碳的残留量与死亡年数的函数关系式为，故有等式，两边取自然对数解得，故答案为：【点睛】本题考查了指数函数以及指数式与对数式的互化，属于基础题.16.已知，若定义域为的函数同时满足以下三条：对任意的，总有；当，时，成立，则称函数为函数.以下说法：（1）若函数为函数，则；（2）函数是一个函数；（3）若函数为函数，则函数在区间上单调递增；（4）若函数、均为函数，则函数（，且）必为函数，正确的有_（填写序号）.【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】对于（1）令，利用性质即可求得；对于（2），对函数根据题中的性质依次验证即可；对于（3）根据抽象函数的单调性判断法结合函数的性质即可证出；对于（4）依题意对性质进行验证即可；【详解】（1）令，则有，即， 对任意的，总有，故，故（1）正确； （2）显然满足；若，时，则有，即，满足，故函数是一个函数；故（2）正确；（3）设，则，所以，故有，故（3）正确； （4）设，若函数、均为函数， 则、，又，所以，满足； 由、，且，则，满足； 当，时，所以，满足；故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查函数值的求法，解题时认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意性质的灵活应用.三、解答题17.若函数的定义域为集合，集合.（1）求，；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求出集合A、B，再利用集合的交、补运算即可求解.（2）求出集合C以及集合，再根据集合的包含关系即可求解.【详解】（1），所以 ，所以.（2），因为，所以，解得，【点睛】本题考查了集合的交、补运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，用时考查了求函数的定义域以及对数型函数的值域，属于基础题.18.如图所示的圆锥中，母线长为，且其侧面积为.（1）求该圆锥的体积；（2）若为底面直径，点为的中点，求圆锥面上点到点的最短距离.【答案】（1）；（2） 【解析】【分析】（1）设底面圆半径为，周长为，则，利用扇形的面积公式求出底面半径，进而求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式即可求解.（2）利用弧长公式求出侧面展开图的圆心角，利用两点之间线段最短即可求解.【详解】（1）设底面圆半径为，周长为，则 ，解得，.（2）圆锥展开为扇形时，设圆心角为，则，所以圆锥面上点到点的最短距离为.【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式以及圆锥的体积公式，需熟记公式，属于基础题.19.如图，正方形的棱长为，分别为，的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可.（2）证出平面，利用等体法即可求解.【详解】（1）连接，分别为，的中点.，又平面，平面， 平面.（2），平面，【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、棱锥的体积公式，属于基础题.20.牧场中羊群的最大蓄养量为只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量（只）和实际蓄养量（只）与空闲（空闲率=）的乘积成正比，比例系数为.（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求羊群年增长量的最大值；（3）当羊群的年增长量达到最大值时，求的取值范围.【答案】（1），定义域为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域.（2）利用配方法可得，易分析出羊群年增量的最大值. （3）由题意得，即，结合，进而即可得到结果.【详解】（1）由题意，空闲率为， （2） ，因为函数在为增函数，在上是减函数，所以当时，所以羊群年增长量的最大值为.（3）由题意可得，即，因，解得，又，故的取值范围为【点睛】本题是一道关于函数模型的应用及函数最值的题目，解题的关键是列出函数关系式.21.已知二次函数.（1）若函数有两个零点，且一个小于，一个大于，求实数的取值范围；（2）若关于方程有实数解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二次函数根的分布可得，解不等式组即可. （2）令，方程转化为，利用分离参数法可得，再利用分离常数法以及基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得，即，解得， 所以实数的取值范围为.（2）令，方程转化为有正实根，即，当且仅当时，即取等号，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查了根据函数零点所在的区间求参数的取值范围以及根据方程的根求参数的取值范围，考查了基本不等式的应用，属于基础题.22.已知函数（为常数）.（1）当时，判断在的单调性，并说明理由；（2）若存在，使不等式成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数.【答案】（1）在的单调递增，证明见详解；（2）；（3）当或，即或，函数有个零点；当或或时，函数有个零点；当或时，有个零点；【解析】【分析】（1