2012年全国高考理科数学试题及答案-天津卷.pdf

中国校长网 中国校长网资源频道 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 本试卷分为第 I 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 共 150 分 考试用时 120 分钟 第 I 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 i是虚数单位 复数 7 3 i z i A 2i 2i 2i 2i B 命题意图 本试题主要考查了复数的概念以及复数的加 减 乘 除四则运算 解析 7 3 i z i 7 3 3 3 ii ii 21 731 10 ii 2i 设R 则 0 是 cos f xx xR 为偶函数 的 A 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 2 A 命题意图 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定 解析 0 cos f xx xR 为偶函 数 反之不 成立 0 是 cos f xx xR 为偶函数 的充分而不必要条件 阅读右边的程序框图 运行相应的程序 当输入x的值为25 时 输出x的 值为 A 1 1 3 9 3 C 命题意图 本试题主要考查了算法框图的读取 并能根据已给的算法程序进行 运算 解析 根据图给的算法程序可知 第一次 4x 第二次 1x 则输出 2 1 1 3x 中国校长网 中国校长网资源频道 4 函数 3 2 2 x f xx 在区间 0 1 内的零点个数是 A 0 1 2 3 4 B 命题意图 本试题主要考查了函数与方程思想 函数的零点的概念 零点存在定理以及作图与 用图的数学能力 解析 解法 1 因为 0 1 02 1f 3 1 2 22 8f 即 0 1 0ff 且函数 f x在 0 1 内连续不断 故 f x在 0 1 内的零点个数是 1 解法 2 设 1 2 x y 3 2 2 yx 在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示 可知 B正确 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5 5 10 5 在 25 1 2 x x 的二项展开式中 x的系数为 A 10 10 40 40 5 D 命题意图 本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用 并借助于通项公式分析项的系 数 解析 25 1 15 2 rrr r TCxx 5 10 3 5 2 1 rrrr C x 103 1r 即 3r x的系数为 40 6 在 ABC 中 内角A B C所对的边分别是 a b c 已知8 5bc 2CB 则 cosC A 7 25 7 25 7 25 24 25 6 A 命题意图 本试题主要考查了正弦定理 三角函数中的二倍角公式 考查学生分析 转化与计 算等能力 中国校长网 中国校长网资源频道 解析 8 5bc 由正弦定理得8sin 5sinBC 又 2CB 8sin 5sin 2BB 所以 8sin 10sincosBBB 易知sin0B 4 cos 5 B 2 cos cos2 2cos1CBB 7 25 7 已知 ABC 为等边三角形 2AB 设点 P Q 满足 APAB 1 AQAC R 若 3 2 BQ CP 则 A 1 2 12 2 1 10 2 32 2 2 7 A 命题意图 本试题以等边三角形为载体 主要考查了向量加减法的几何意义 平面向量基本定 理 共线向量定理及其数量积的综合运用 解析 BQ AQAB 1 ACAB CP APAC ABAC 又 3 2 BQ CP 且 2ABAC 0 60AB AC 0 cos60 2AB ACAB AC 3 1 2 ACABABAC 222 3 1 1 2 ABAB ACAC 所 以 2 3 4 2 1 4 1 2 解得 1 2 C C C C B B B B A A A A P P P P Q Q Q Q 8 设m nR 若直线 1 1 2 0mxny 与圆 22 1 y1 1x 相切 则 m n的取 值范围是 A 13 1 3 13 1 3 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 8 D 命题意图 本试题主要考查了直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式 重要不等式 一元 二次不等式的解法 并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力 中国校长网 中国校长网资源频道 解析 直线 1 1 2 0mxny 与圆 22 1 y1 1x 相切 圆心 1 1 到直线的距离 为 22 1 1 2 1 1 1 mn d mn 所以 2 1 2 mn mnmn 设 t mn 则 2 1 1 4 tt 解得 22 2 2 2 2 t 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 某地区有小学 150 所 中学 75 所 大学 25所 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调査 应从小学中抽取所学校 中学中抽取所学校 9 18 9 命题意图 本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算 解析 分层抽样也叫按比例抽样 由题知学校总数为 250所 所以应从小学中抽取 150 30 18 250 中学中抽取 75 30 9 250 10 个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体积为 3 m 10 18 9 命题意图 本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力 解析 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体 所以其体积为 3 43 3 6 1 2 32 V 18 9 3 m 11 已知集合 2 3 AxR x 集合 2 0 BxR xm x 且 1 ABn 则 m n 11 1 1 命题意图 本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质 同时考查绝对值不等式与一元 二次不等式的解法以及分类讨论思想 解析 2 3 AxR x 5 0p 焦点为F 准线为l 过抛 物线上一点M作的垂线 垂足为E 若 EFMF 点M的横坐标是 3 则 p 12 2 命题意图 本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义 抛物线的定义及其几何性质 解析 2 2 2 xpt ypt 可得抛物线的标准方程为 2 2 ypx 0 p 焦点 0 2 p F 点M的横 坐标是 3 则 3 6 Mp 所以点 6 2 p Ep 222 06 22 pp EFp 由抛物线得几何性质得 3 2 p MF EF MF 22 1 6 3 9 4 pppp 解得 2p 13 如图 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D 过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 与 AB 相交于点 F 3AF 1FB 3 2 EF 则线段CD的长 为 13 4 3 命题意图 本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系 相交弦定理 切割线定理 相 似三角形的概念 判定与性质 解析 3AF 1FB 3 2 EF 由相交弦定理得 AF FB EF FC 所以 2FC 又 BD CE AFFC ABBD 4 2 3 AB BDFC AF 8 3 设 CD x 则 4ADx 再由切割线定理 得 2 BDCD AD 即 2 8 4 3 xx 解得 4 3 x 故 4 3 CD 14 已知函数 2 1 1 x y x 的图象与函数 2y kx 的图象恰有两个交点 则实数k的取值范围 是 14 0 1 1 4 命题意图 本试题主要考查了函数的图像及其性质 利用函数图像确定两函数的交点 从而确 中国校长网 中国校长网资源频道 定参数的取值范围 解析 函数 2y kx 的图像直线恒过定点B 0 2 且 1 2 A 1 0 C 1 2 D 2 2 0 10 AB k 0 2 2 10 BC k 2 2 4 10 BD k 由图像可知 0 1 1 4 k 4 2 2 4 6 8 10 12 10 5 5 10 A A A A O O O O B B B B C C C C D D D D 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 2 sin 2 sin 2 2cos1 33 f xxxx xR 求函数 f x的最小正周期 求函数 f x在区间 4 4 上的最大值和最小值 命题意图 本试题主要考查了 参考答案 点评 该试题关键在于将已知的函数表达式化为 sin y Ax 的数学模型 再根据此三角 模型的图像与性质进行解题即可 16 本小题满分 13 分 现有 4 个人去参加某娱乐活动 该活动有甲 乙两个游戏可供参加者 选择 为增加趣味性 约定 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏 掷出点数 为 1 或 2 的人去参加甲游戏 掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 用 X Y分别表示这 4 个人中去参加甲 乙游戏的人数 记 XY 求随机变量 的分 布列与数学期望E 命题意图 本试题主要考查了 参考答案 点评 应用性问题是高考命题的一个重要考点 近年来都通过概率问题来考查 且常考常新 对 于此类考题 要注意认真审题 从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 将问题成功转化为 古典概型 独立事件 互斥事件等概率模型求解 因此对概率型应 用性问题 理解是基础 转化是关键 17 本小题满分 13分 如图 在四棱锥PABCD 中 PA丄 平面ABCD AC丄AD AB丄BC 0 45ABC 2PA AD 中国校长网 中国校长网资源频道 1AC 证明PC丄AD 求二面角APCD 的正弦值 设 E 为棱PA上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 0 30 求 AE 的长 命题意图 本试题主要考查了 参考答案 点评 试题从命题的角度来看 整体上题目与我们平时练习的试题相似 但底面是非特殊 的四边形 一直线垂直于底面的四棱锥问题 那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定 的 需要学生根据已知条件进行确定 如此说来就有难度 因此最好使用空间直角坐标系解决该 问题为好 18 本小题满分 13 分 已知 n a 是等差数列 其前n项和为 n S n b 是等比数列 且 1 a 1 2 b 44 27ab 44 10 Sb 求数列 n a 与 n b 的通项公式 记 11 21 nnnn Ta baba b nN 证明 12 2 10 nnn Tab nN 命题意图 本试题主要考查了 参考答案 点评 该试题命制比较直接 没有什么隐含的条件 就是等比与等差数列的综合应用 但方法 多样 第二问可以用错位相减法求解证明 也可用数学归纳法证明 给学生思维空间留有余地 符合高考命题选拔性的原则 19 本小题满分 14 分 设椭圆 22 22 1 xy ab 0 a b的左 右顶点分别为 A B 点 P 在椭圆 上且异于 A B 两点 O为坐标原点 若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 1 2 求椭圆的离心率 若 APOA 证明直线OP的斜率k满足 3k 命题意图 本试题主要考查了 参考答案 点评 20 本小题满分 14分 已知