2013年高考数学试题精编152 几何证明.pdf

第十五章 新增内容和创新题目 二 几何证明 第十五章 新增内容和创新题目 二 几何证明 考题分类 一 填空题 共 9 题 1 北京卷理 12 如图 O 的弦 ED CB 的延长线交于点 A 若 BD AE AB 4 BC 2 AD 3 则 DE CE 答案 5 2 7 解析 首先由割线定理不难知道AB AC AD AE 于是 8 5AEDE 又BD AE 故 BE为直径 因此90C 由勾股定理可知 222 28CEAEAC 故 2 7CE 2 广东卷理 14 如图 3 AB CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦 它们相交于 AB 的中点 P PD 2 3 a OAP 30 则 CP 答案 9 8 a 解析 因为点 P 是 AB 的中点 由垂径定理知 OP AB 在Rt OPA 中 3 cos30 2 BPAPaa o 由相交线定理知 BP APCP DP 即 332 223 aaCPa 所以 9 8 CPa 3 广东卷文 14 如图 3 在直角梯形 ABCD 中 DC AB CB AB AB AD a CD 2 a 点 E F 分别为线段 AB AD 的中点 则 EF 解 连结 DE 可知 AED 为直角三角形 则 EF 是 DEARt 斜边上 的中线 等于斜边的一半 EF 2 a 4 湖南卷理 10 如图 1 所示 过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A B 两点 已知 PA 2 点 P 到 O 的切线长 PT 4 则弦 AB 的长为 答案 6 解析 根据切线长 定理 2 2 16 8 2 PT PTPA PB PB PA 所以 826ABPBPA 命题意图 本题考察平面几何的切线长定理 属容易题 5 湖北卷理 15 设 a 0 b 0 称 2ab ab 为 a b 的调和平均数 如图 C 为线段 AB 上的点 且 AC a CB b O 为 AB 中点 以 AB 为直径做半圆 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D 连结 OD AD BD 过点 C 作 OD 的垂线 垂足为 E 则图中线段 OD 的长度是 a b 的算术平均数 线段 的长度是 a b 的几何平均数 线段 的长度是 a b 的调和平均数 答案 CD CE 解析 在Rt ADB中DC为高 则由射影定理可得 2 CDAC CB 故 CDab 即CD长 度 为a b的 几 何 平 均 数 将 OC 222 ababab aCDabOD 代入 OD CEOC CD 可得 ab CEab ab 故 2 22 2 ab OEOCCE ab 所以 ED OD OE 2ab ab 故 DE 的长度为 a b 的调和平均数 6 陕西卷理 15B 如图 已知 Rt ABC 的两条直角边 AC BC 的长分别为 3cm 4cm 以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D 则 BD DA 解析 方法一 易知 543 22 AB 又由切割 线定理得 ABBDBC 2 5 16 542 BDBD 于是 5 9 5 16 5 BDABDA 故所求 9 16 9 5 5 16 DA BD 方法二 连CD 易知CD是 ABCRt 斜边上的高 由射影定理得 ABBDBC 2 ABDAAC 2 故所求 9 16 3 4 2 2 2 2 AC BC ABDA ABBD DA BD 试题评析 本题主要考查平面几何中的直线与圆的综 合 要注意有关定理的灵活运用 7 陕西卷文 15B 如图 已知 Rt ABC 的两条直角边 AC BC 的长分别为 3cm 4cm 以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D 则 BD cm 答案 16 5 cm 解 析 易 知 543 22 AB 又 由 切 割 线 定 理 得 ABBDBC 2 5 16 542 BDBD 8 天津卷理 14 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB1 PC1 PA2 PD3 则 BC AD的值为 答案 6 6 解析 因为 ABCD 四点共圆 所以 DAB PCB CDA PBC 因为 P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 PB PD PC PA BC AD 设 PC x PB y 则有 32 xy yx 即 6 2 y x 所以 BC AD 3 x y 6 6 命题意图 本题考查四点共圆与相似三角形的性质 9 天津卷文 11 如图 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形 延 长 AB 和 DC 相交于点 P 若 PB 1 PD 3 则 BC AD的值为 答案 1 3 解析 因为 ABCD 四点共圆 所以 DAB PCB CDA PBC 因为 P 为公共角 所以 PBC PAB 所以 PB PD PC PA BC AD 所以 BC AD PB PD 1 3 命题意图 本题考查四点共圆与相似三角形的性质 二 解答题 共 3 题 1 江苏卷 21 AB 是 O 的直径 D 为 O 上一点 过点 D 作 O 的切线交 AB 延长线于 C 若 DA DC 求证 AB 2BC 解析 本题主要考查三角形 圆的有关知识 考查推理论证能力 方法一 证明 连结 OD 则 OD DC 又 OA OD DA DC 所以 DAO ODA DCO DOC DAO ODA 2 DCO 所以 DCO 300 DOC 600 所以 OC 2OD 即 OB BC OD OA 所以 AB 2BC 方法二 证明 连结 OD BD 因为 AB 是圆 O 的直径 所以 ADB 900 AB 2 OB 因为 DC 是圆 O 的切线 所以 CDO 900 又因为 DA DC 所以 DAC DCA 于是 ADB CDO 从而 AB CO 即 2OB OB BC 得 OB BC 故 AB 2BC 2 辽宁卷理 22 如图 ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的 外接圆于点 E I 证明 ABE ADC II 若 ABC 的面积 AEADS 2 1 求 BAC 的大小 3 全国 新卷理 22 文 22 如图 已知圆上的弧 ACBD 过 C 点的圆的切线与 BA 的延 长线交于 E 点 证明 A