普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析（山东卷） (2).doc

20152015 年高考山东卷理数试题解析 精编版 年高考山东卷理数试题解析 精编版 本试卷分第本试卷分第 卷和第卷和第 卷两部分 共卷两部分 共 4 4 页页 满分满分 150150 分分 考试用时考试用时 120120 分钟分钟 考试结束后 将将本试卷考试结束后 将将本试卷 和答题卡一并交回和答题卡一并交回 注意事项 注意事项 1 1 答卷前 考生务必用答卷前 考生务必用 0 50 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号县区和科类填毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 考生号县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上写在答题卡和试卷规定的位置上 2 2 第第 卷每小题选出答案后 用卷每小题选出答案后 用 2b2b 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案卸载试卷上无效答案卸载试卷上无效 3 3 第第 卷必须用卷必须用 0 50 5 毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应毫米黑色签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能的位置 不能写在试卷上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能 使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效使用涂改液 胶带纸 修正带 不按以上要求作答的答案无效 4 4 填空题直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤填空题直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 参考公式 如果事件如果事件 a b互斥 那么互斥 那么 p abp ap b 第第 卷 共卷 共 5050 分 分 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合要求的合要求的 1 2015 高考山东 理 1 已知集合 2 430ax xx 24bxx 则ab a 1 3 b 1 4 c 2 3 d 2 4 答案 c 解析 因为 2 43013ax xxxx 所以 132423abxxxxxx 故选 c 考点定位 1 一元二次不等式 2 集合的运算 名师点睛 本题考查集合的概念与运算 利用解一元二次不等式的解法化简集合并求两集合的交集 本 题属基础题 要求学生最基本的算运求解能力 2 2015 高考山东 理 2 若复数z满足 1 z i i 其中i为虚数为单位 则z a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 答案 a 考点定位 复数的概念与运算 名师点睛 本题考查复数的概念和运算 采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解 本题属于基础题 注意运算的准确性 3 2015 高考山东 理 3 要得到函数sin 4 3 yx 的图象 只需要将函数sin4yx 的图象 a 向左平移 12 个单位 b 向右平移 12 个单位 c 向左平移 3 个单位 d 向右平移 3 个单位 答案 b 考点定位 三角函数的图象变换 名师点睛 本题考查了三角函数的图象 重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握 能否正 确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题 反映学生对所学知识理解的深度 4 2015 高考山东 理 4 已知菱形abcd的边长为a 60abc 则bd cd a 2 3 2 a b 2 3 4 a c 2 3 4 a d 2 3 2 a 答案 d 考点定位 平面向量的线性运算与数量积 名师点睛 本题考查了平面向量的基础知识 重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌 握 属基础题 要注意结合图形的性质 灵活运用向量的运算解决问题 5 2015 高考山东 理 5 不等式152xx 的解集是 a 4 b 1 c 1 4 d 1 5 答案 a 考点定位 含绝对值的不等式的解法 名师点睛 本题考查了含绝对值的不等式的解法 重点考查学生利用绝对值的意义将含绝对值的不等式 转化为不含绝对值的不等式 组 从而求解的能力 本题属中档题 6 2015 高考山东 理 6 已知 x y满足约束条件 0 2 0 xy xy y 若zaxy 的最大值为 4 则a a 3 b 2 c 2 d 3 答案 b 解析 不等式组 0 2 0 xy xy y 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示 若zaxy 的最大值为 4 则最优解可能为1 1xy 或2 0 xy 经检验 2 0 xy 是最优 解 此时2a 1 1xy 不是最优解 故选 b 考点定位 简单的线性规划问题 名师点睛 本题考查了简单的线性规划问题 通过确定参数a的值 考查学生对线性规划的方法理解的 深度以及应用的灵活性 意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力 7 2015 高考山东 理 7 在梯形abcd中 2 abc 222adbc bcadab 将梯 形abcd绕ad所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 a 2 3 b 4 3 c 5 3 d 2 答案 c 考点定位 1 空间几何体的结构特征 2 空间几何体的体积 名师点睛 本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算 重点考查了圆柱 圆锥的结 构特征和体积的计算 体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查 此题属中档题 8 2015 高考山东 理 8 已知某批零件的长度误差 单位 毫米 服从正态分布 2 0 3n 从中随机 取一件 其长度误差落在区间 3 6 内的概率为 附 若随机变量 服从正态分布 2 n 则 68 26 p 2295 44 p a 4 56 b 13 59 c 27 18 d 31 74 答案 b 考点定位 正态分布的概念与正态密度曲线的性质 名师点睛 本题考查了正态分布的有关概念与运算 重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态 密度曲线求概率 意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力 9 2015 高考山东 理 9 一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 22 321xy 相切 则反射光线所在直线的斜率为 a 5 3 或 3 5 b 3 2 或 2 3 c 5 4 或 4 5 d 4 3 或 3 4 答案 d 考点定位 1 圆的标准方程 2 直线的方程 3 直线与圆的位置关系 名师点睛 本题考查了圆与直线的方程的基础知识 重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及 直线与圆的位置关系的判断 意在考查学生对直线与直线 直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的 运算求解能力 10 2015 高考山东 理 10 设函数 31 1 2 1 x xx f x x 则满足 2 f a ff a 的a取值范围是 a 2 1 3 b 0 1 c 2 3 d 1 答案 c 考点定位 1 分段函数 2 指数函数 名师点睛 本题以分段函数为切入点 深入考查了学生对函数概念的理解与掌握 同时也考查了学生对 指数函数性质的理解与运用 渗透着对不等式的考查 是一个多知识点的综合题 第第 卷 共卷 共 100100 分 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分分 11 2015 高考山东 理 11 观察下列各式 00 1 4c 011 33 4cc 0122 555 4 ccc 01233 7777 4cccc 照此规律 当 n n 时 0121 21212121 n nnnn cccc 答案 1 4n 考点定位 1 合情推理 2 组合数 名师点睛 本题考查了合情推理与组合数 重点考查了学生对归纳推理的理解与运用 意在考查学生观 察 分析 归纳 推理判断的能力 关键是能从前三个特殊的等式中观察 归纳 总结出一般的规律 从 而得到结论 此题属基础题 12 2015 高考山东 理 12 若 0 tan 4 xxm 是真命题 则实数m的最小值为 答案 1 考点定位 1 命题 2 正切函数的性质 名师点睛 本题涉及到全称命题 正切函数的性质 不等式恒成立问题等多个知识点 意在考查学生综 合利用所学知识解决问题的能力 注意等价转化的思想的应用 此题属中档题 13 2015 高考山东 理 13 执行右边的程序框图 输出的t的值为 答案 11 6 所以答案应填 11 6 考点定位 1 程序框图 2 定积分 名师点睛 本题考查了循环结构与定积分的计算 意在考查学生对程序框图的理解和基本的计算能力 以程序框图为载体 可以展开对数列 函数 不等式 定积分等多种知识点的考查 此题是一个范例 解 题中要注意运算的准确性 14 2015 高考山东 理 14 已知函数 0 1 x f xab aa 的定义域和值域都是 1 0 则 ab 答案 3 2 考点定位 指数函数的性质 名师点睛 本题考查了函数的有关概念与性质 重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用 利用方 程的思想解决参数的取值问题 注意分类讨论思想方法的应用 15 2015 高考山东 理 15 平面直角坐标系xoy中 双曲线 22 1 22 10 0 xy cab ab 的渐近线与 抛物线 2 2 20cxpy p 交于点 o a b 若oab 的垂心为 2 c的焦点 则 1 c的离心率为 答案 3 2 考点定位 1 双曲线的标准方程与几何性质 2 抛物线的标准方程与几何性质 名师点睛 本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质 意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把 握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力 三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是 突破此题的关键 三 解答题 本答题共 6 小题 共 75 分 16 本小题满分 12 分 2015 高考山东 理 16 设 2 sin coscos 4 f xxxx 求 f x的单调区间 在锐角abc 中 角 a b c的对边分别为 a b c 若0 1 2 a fa 求abc 面积的最大值 答案 i 单调递增区间是 44 kkkz 单调递减区间是 3 44 kkkz ii abc 面积的最大值为 23 4 考点定位 1 诱导公式 2 三角函数的二倍角公式 3 余弦定理 4 基本不等式 名师点睛 本题考查了三角函数的诱导公式 二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式 意在考 查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力 余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成 熟的思路 17 本小题满分 12 分 2015 高考山东 理 17 如图 在三棱台defabc 中 2 abde g h 分别为 ac bc的中点 求证 bd平面fgh 若cf 平面abc abbc cfde 45bac 求平面fgh与平面acfd 所成 的角 锐角 的大小 答案 i 详见解析 ii 60 又oh 平面 fgh bd 平面 fgh 所以 bd平面fgh 由fc 平面abc 得hmfc 又fcacc 所以hm 平面acfd 因此gfnh 所以mnh 即为所求的角 考点定位 1 空间直线与平面的位置关系 2 二面角的求法 3 空间向量在解决立体几何问题中的 应用 名师点睛 本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质 全面考查立几何中的证明与求解 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力 利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法 要注 意建立适当的空间直角坐标系以及运 算的准确性 18 本小题满分 12 分 2015 高考山东 理 18 设数列 n a的前 n 项和为 n s 已知233 n n s i 求 n a的通项公式 ii 若数列 n b满足 3 log nnn a ba 求 n b的前 n 项和 n t 答案 i 1 3 1 3 1 n n n a n ii 1363 124 3 n n n t 考点定位 1 数列前n 项和 n s 与通项 n a 的关系 2 特殊数列的求和问 题 名师点睛 本题考查了数列的基本概念与运算 意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力 思维的 严密性和运算的准确性 在利用 n s与通项 n a的关系求 n a的过程中 一定要注意1n 的情况 错位相减 不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求 19 本小题满分 12 分 2015 高考山东 理 19 若n是一个三位正整数 且n的个位数字大于十位数字 十位数字大于百位数 字 则称n为 三位递增数 如 137 359 567 等 在某次数学趣味活动中 每位参加者需从所有的 三 位递增数 中随机抽取 1 个数 且只能抽取一次 得分规则如下 若抽取的 三位递增数 的三个数字之 积不能被 5 整除 参加者得 0 分 若能被 5 整除 但不能被 10 整除 得1 分 若能被 10 整除 得 1 分 i 写出所有个位数字是 5 的 三位递增数 ii 若甲参加活动 求甲得分x的分布列和数学期望ex 答案 i 有 125 135 145 235 245 345 ii x 的分布列为 x0 11 p 2 3 1 14 11 42 4 21 ex 考点定位 1 新定义 2 古典概型 3 离散型随机变量的分布列与数学期望 4 组合的应用 名师点睛 本题在一个新概念的背景下 考查了学生对组合 概率 离散型随机变量的分布列等知识 意在考查学生对新知识的理解与应用能力 以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力 解决此类问题的 关键是从实际问题中抽象出数学模型 20 本小题满分 13 分 2015 高考山东 理 20 平面直角坐标系xoy中 已知椭圆 22 22 10 xy cab ab 的离心率为 3 2 左 右焦点分别是 12 f f 以 1 f为圆心以 3 为半径的圆与以 2 f为圆心以 1 为半径的圆相交 且交点在椭圆 c上 求椭圆c的方程 设椭圆 22 22 1