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第一节可测函数及其性质 第四章可测函数 三 可测函数的性质 一 可测函数定义 二 可测函数的等价描述 四 可测函数与零集的关系 五 可测函数与简单函数的关系 一 可测函数定义 定义1 设f x 是可测集E上的实函数 可取 若可测 则称f x 是E上的可测函数 例 1 零集上的任何函数都是可测函数 例 2 简单函数是可测函数 注 0 1 上的Dirichlet函数是简单函数 例 3 可测集E上的连续函数f x 必为可测函数 对比 设f x 为 a b 上有限实函数 设f x 为E上有限实函数 称f x 在处连续 结论 可测集E上的连续函数f x 定为可测函数 证明 任取x E f a 则f x a 由连续性假设知 则G为开集 为可测集 且 二 可测函数的等价描述 证明 定理1设f x 是可测集E上的实函数 下列任一条件都是f x 在E上可测的充要条件 三 可测函数的性质 定理1 可测函数关于子集 并集的性质 反之 若 f x 在En上是可测函数 则f x 在E上也是可测函数 即 若f x 是E上的可测函数 可测 则f x 在E1上也是可测函数 即 若f x g x 是E上的可测函数 则对任意的有限实数 f x f x g x f x g x 1 f x f x g x f x g x f x 仍为E上的可测函数 定理2 可测函数类关于四则运算封闭 2020 3 16 11 可编辑 定理3 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭 推论 特別当极限存在时 它也是可测函数 可测函数列的极限函数仍为可测函数 连续函数列的极限函数不一定为连续函数 即若fn x 是E上的可测函数 则下列函数仍为E上的可测函数 例 R1上的可微函数f x 的导函数f x 是可测函数 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数 从而f x 是一列连续函数 当然是可测函数 的极限 故f x 是可测函数 证明 由于 94页第2题设 fn 是可测函数列 则它的收敛点全体和发散点全体是可测集 证明 发散点全体为收敛点全体为 再 1 几乎处处成立 四 可测函数与零集的关系 例1 例2 注 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 证明 令E1 E f g E2 E f g 则mE1 0从而g x 在E1上可测 定理 设f x g x a e 于E f x 在E上可测 则g x 在E上也可测 另外f x 在E2上可测 从而g x 在E2上也可测 进一步g x 在E E1 E2上也可测 2 函数可测性与零集的关系 注 当f x 是有界函数时 上述收敛可做到一致收敛 若f x 是E上的可测函数 则
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