控制系统的状态空间模型.pdf

第 2 章 控制系统的状态空间模型 本章讨论动态系统的状态空间描述 主要介绍在状态空间分析中所应用的数 学模型 状态空间模型 也称状态空间表达式 的建立 状态空间模型的线性变 换 MIMO 的传递函数阵 组合系统的状态空间模型 以及离散时间动态系统的状 态空间模型 本章最后介绍基于 Matlab 的控制模型的建立与变换问题的程序设 计与计算 本章将力图让读者建立起状态 状态空间与状态空间变换的概念 掌 握状态空间模型的建立方法 打下进行状态空间分析的基础 2 1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型 2 1 1 状态空间的基本概念 1 系统的状态和状态变量 2 系统的状态空间 2 1 2 系统的状态空间模型 状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型 它是应 用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础 状态空间模型由描述系统的动态 特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间变换关系的输出方程组 成 下面以一个由电容 电感等储能元件组成的电网络系统为例 说明状态空间 模型的建立和形式 然后再进行一般的讨论 1 非线性时变系统非线性时变系统 状态空间模型由状态方程和输出方程组成 其中 状态方程描述了系统内部各状 态变量之间及其与各输入变量间的动态关系 输出方程则描述了系统输出是如何 由状态变量和输入变量决定的 因此 非线性时变系统的状态空间模型的形式为 t t uxgy uxf x 2 6 式中 x 为 n 维状态向量 u 为 r 维输入向量 y 为 m 维输出向量 f x u t 和 g x u t 分 别为如下 n 维和 m 维关于状态向量 x 输入向量 u 和时间 t 的非线性向量函数 2 非线性定常系统 若非线性时变系统的状态空间模型中不显含时间变量 t 则成为非线性定常系统 的状态空间模型 uxgy uxf x 式中 f x u 和 g x u 分别为 n 维和 m 维关于状态向量 x 和输入向量 u 的非线性向 量函数 这些非线性函数中不显含时间变量 t 即表示系统的结构和参数不随时间 变化而变化 3 线性时变系统 线性时变系统的状态空间模型为 uxy uxx tDtC tBtA 式中 模型中各系数矩阵的各元素为时间变量 t 的时变函数 4 线性定常系统 若线性时变系统的状态空间模型中各系数矩阵不显含时间 t 则为线性定常系统 的状态空间模型 uxy uxx DC BA 2 1 3 线性系统状态空间模型的模拟结构图 线性系统的状态空间模型还可以用结构图的方式表达 以形象地说明系统的输 入 输出和状态之间的信息传递关系 在采用模拟或数字计算机仿真时 它是一 个强有力的工具 系统的结构图主要有 3 种基本元件 积分器 加法器和比例器 其表示符如下图所 示 x2 x1 x1 x2 k x t x kx t x a 积分器 b 加法器 c 比例器 系统结构图中的三种基本元件系统结构图中的三种基本元件 2 2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型 上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态 空间模型的建立 现实世界中 许多物理 化学系统都具有储存和传递信息 或能 量 的能力 都可视为动态系统 如机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都 储存有能量并能通过某种形式传递 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与 传递 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息 对这些系统 根据其物理和化学变化的机理 由描述这些变化的物理和化学的定 理 定律和规律等 可得系统各物理量之间应满足的动静态关系式 因此 在选择 适宜的状态变量后 可建立系统的状态空间模型 下面通过实例讨论如何建立刚 体力学系统 机电能量转换系统 流体力学系统 化工反应系统中的热量和物料 平衡系统的状态空间模型 2 3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 本节讨论由描述系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数 通过选 择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型 这种问题称为系统的实现问 题 这种变换过程的原则是不管状态变量如何选择 都应保持系统输入输出间的 动 静态关系不变 2 4 线性变换和约旦规范形线性变换和约旦规范形 从上一节的讨论可以看到 同一个系统的状态空间模型 即使其维数相同 其具体 结构和系数矩阵也是多种多样的 如系统矩阵 A 可以为对角线矩阵或者约旦矩阵 也可以为其他形式 状态空间模型的不同 取决于状态变量的不同选择 由此产 生了一个问题 各种不同选择的状态变量之间 以及它们所对应的状态空间模型之 间的关系如何 在控制系统的分析和设计中 某些特殊的状态空间模型将使系统分析与设计相对 简化 如对角线规范形和约旦规范形 由此提出如下问题 如何把一般形式的状态 空间模型变换成特定形式的状态空间模型 以降低系统分析和设计的难度 状态变量是一组实变量 它们所组成的状态空间为一个实线性空间 由线性代数 知识可知 线性空间中 随着表征空间坐标的基底的选取的不同 空间中的点关于 各种基底的坐标亦不同 这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换 而空间中 的点的坐标则相当于作了一次线性变换 因此 利用线性代数的知识 就回答了上 述两个问题 1 不同选取的状态变量之间存在一个坐标变换 其相应的状态空间模型之间也存 在一个相应的相似变换 在现代控制理论中 这种变换称为线性变换或状态变换 2 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换 则在一定条件下应可以将 一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型 2 5 传递函数阵传递函数阵 对于 SISO 线性定常系统 标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传 递关系 对于 MIMO 线性定常系统 将每个输入通道至输出通道之间的标量传递 函数按序排列成的矩阵函数 即传递函数阵 可用来表达系统多输入与多输出间的 信息动态传递关系 本节将从状态空间模型出发 导出 MIMO 系统的传递函数阵 并讨论有各种联结关系的组合系统的传递函数阵 2 6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 随着数字计算机在系统控制中的广泛应用 离散时间系统 简称为离散系统 日益 显示出其重要性 和连续系统不同 离散系统中各部分的信号不再都是时间变量 t的连续函数 在系统的一处或多处 其信号呈现断续式的脉冲串或数码的形式 事实上 大量的连续系统通常被通过采样化为时间离散化系统 再来进行分析和 控制 与连续系统类似 为更好地分析 控制离散时间被控对象 引入状态空间分析方法 下面先讨论工程控制系统的计算机实现 然后讨论离散系统