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第2章连续系统的时域分析 2 1线性连续系统的描述及其响应2 2奇异函数2 3冲激响应和阶跃响应2 4卷积积分 2 1线性连续系统的描述及其响应 2 1 1系统的描述描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程 对于电系统 列写数学模型的基本依据有如下两方面 1 元件约束VAR 在电流 电压取关联参考方向条件下 1 电阻R uR t R iR t 2 电感L 3 电容C 4 互感 同 异名端连接 理想变压器等原 副边电压 电流关系等 2 结构约束KCL与KVL 下面举例说明 例2 1图2 1所示电路 输入激励是电流源iS t 试列出电流iL t 及R1上电压 u1 t 为输出响应变量的方程式 图2 1例2 1图 解由KVL 列出电压方程 对上式求导 考虑到 2 1 根据KCL 有iC t iS t iL t 因而 u1 t R1iC t R1 iS t iL t 2 2 整理上式后 可得 2 3 例2 2图2 2所示电路 试分别列出电流 i1 t 电流i2 t 和电压uO t 的数学模型 解 解此联立方程 最后求得 2 4 2 5 2 6 图2 2例2 2图 从上面两例可得到两点结论 1 解得的数学模型 即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 即独立动态元件的个数 是一致的 2 输出响应无论是iL t u1 t 或是uC t i1 t 还是其它别的变量 它们的齐次方程都相同 这表明 同一系统当它的元件参数确定不变时 它的自由频率是唯一的 2 1 2微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般 如果单输入 单输出线性非时变的激励为f t 其全响应为y t 则描述线性非时变系统的激励f t 与响应y t 之间关系的是n阶常系数线性微分方程 它可写为 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 2 7 式中an 1 a1 a0和bm bm 1 b1 b0均为常数 该方程的全解由齐次解和特解组成 齐次方程的解即为齐次解 用yh t 表示 非齐次方程的特解用yp t 表示 即有 y t yh t yp t 2 8 1 齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t 0 2 9 由高等数学经典理论知 该齐次微分方程的特征方程为 n an 1 n 1 a1 a0 0 2 10 1 特征根均为单根 如果几个特征根都互不相同 即无重根 则微分方程的齐次解 2 特征根有重根 若 1是特征方程的 重根 即有 1 2 3 而其余 n 个根 1 2 n都是单根 则微分方程的齐次解 2 11 2 12 3 特征根有一对单复根 即 1 2 a jb 则微分方程的齐次解 yh t c1eatcosbt c2eatsinbt 2 13 4 特征根有一对m重复根 即共有m重 1 2 a jb的复根 则微分方程的齐次解 2 14 例2 3求微分方程y t 3y t 2y t f t 的齐次解 解由特征方程 2 3 2 0解得特征根 1 1 2 2 因此该方程的齐次解 yh t c1e t c2e 2t 例2 4求微分方程y t 2y t y t f t 的齐次解 解由特征方程 2 2 1 0解得二重根 1 2 1 因此该方程的齐次解 yh t c1e t c2te t 例2 5求微分方程y t y t f t 的齐次解 解由特征方程 2 1 0解得特征根是一对共轭复数 1 2 j 因此 该方程的齐次解 yh t c1cost c2sint 2 特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关 表2 1列出了几种类型的激励函数f t 及其所对应的特征解yp t 选定特解后 将它代入到原微分方程 求出其待定系数Pi 就可得出特解 表2 1激励函数及所对应的解 例2 6若输入激励f t e t 试求微分方程y t 3y t 2y t f t 的特解 解查表2 1 因为f t e t 1与一个特征根 1 1相同 因此该方程的特解 将特解yp t 代入微分方程 有 3 完全解 根据式 2 8 完全解是齐次解与特解之和 如果微分方程的特征根全为单根 则微分方程的全解为 2 15 当特征根中 1为 重根 而其余 n 个根均为单根时 方程的全解为 2 16 如果微分方程的特征根都是单根 则方程的完全解为式 2 15 将给定的初始条件分别代入到式 2 15 及其各阶导数 可得方程组 y 0 c1 c2 cn yp 0 y 0 1c1 2c2 ncn y p 0 y n 1 0 n 11c1 n 12c2 n 1ncn y n 1 p 0 例2 7描述某线性非时变连续系统的微分方程为y t 3y t 2y t f t 已知系统的初始条件是y 0 y 0 0 输入激励f t e tu t 试求全响应y t 解在例2 3和例2 6中已求得该方程的齐次解和特解 它们分别是 yh t c1e t c2e 2t yp t te t 因此 完全解是 y t c1e t c2e 2t te t 由初始条件y 0 y 0 0 有 y 0 c1 c2 0 y 0 c1 2c2 1 0 解得c1 1 c2 1 所以 全响应为 y t e t e 2t te t u t 2 1 3零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 x 0 所引起的响应 用yx t 表示 零状态响应是系统的初始状态为零 即系统的初始储能为零 时 仅由输入信号所引起的响应 用yf t 表示 这样 线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和 即y t yx t yf t 2 17 在零输入条件下 式 2 7 等式右端均为零 化为齐次方程 若其特征根全为单根 则其零输入响应式中cxi为待定常数 若系统的初始储能为零 亦即初始状态为零 这时式 2 7 仍为非齐次方程 若其特征根均为单根 则其零状态响应 2 18 2 19 式中cfi为待定常数 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应 也可分解为零输入响应和零状态响应 它们的关系为 2 20 式中 2 21 在电路分析中 为确定初始条件 常常利用系统内部储能的连续性 即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性 这就是动态电路中的换路定理 若换路发生在t t0时刻 有 2 22 例2 8如图2 3 a 所示的电路 已知L 2H C 0 25F R1 1 R2 5 电容上初始电压uC 0 3V 电感初始电流iL 0 1A 激励电流源i t 是单位阶跃函数 即i t u t A 试求电感电流iL t 的零输入响应和零状态响应 解图2 3 a 即例2 1题 若以iL t 为输出变量 已知其微分方程为 将各元件数值代入得 图2 3例2 8图 1 零输入响应 当输入为零时 电感电流的零输入应满足齐次方程 其特征根 1 1 2 2 因此零输入响应 已知iLx 0 1A 由KVL 再由可得 解得 故而 2 零状态响应 输入iS t u t A 在t 0时 iS t 1A 代入零状态响应方程其齐次解为cf1e t cf2e 2t 特解yp t P0 代入原微分方程得P0 1 所以 系统的零状态响应 iLf t cf1e t cf2e 2t 1 t 0 已知iLf 0 0 且 有 解得 3 完全响应 2 2奇异函数 2 2 1奇异信号 函数 的时域描述1 冲激信号 冲激信号记为 t 其一般定义式为 2 23 图2 4冲激信号及延时冲激信号 冲激信号也可用泛函定义为图2 5就是 t 的两个工程信号模型 尽管图中P1 t 与P2 t 不尽相同 但两者都满足上述要求 当 0时的极限情况都可形成冲激信号 t 即 2 24 图2 5 t 的两个工程信号 补充说明下面两点 1 冲激信号的作用不一定仅是t 0时刻 可以延时至任意时刻t0 以符号 t t0 表示 其波形图如图2 4 b 所示 t t0 的定义式为 t t0 0 t t0 t t0 t t0 且 2 25 仿照式 2 24 同样有 t t0 的泛函数定义 2 冲激信号具有强度 其强度就是冲激信号对时间的定积分值 如A t 表示该冲激信号的强度为A 即有 冲激信号的强度在图中以括号注明 以示与信号的幅值相区分 2 26 2 阶跃信号 阶跃信号以符号u t 表示 其定义为 其波形如图2 6 a 所示 图2 6阶跃信号与延时阶跃信号 阶跃信号u t 在t 0处存在间断点 在此点u t 没有定义 同样 阶跃信号也可延时任意时刻t0 以符号u t t0 表示 其波形如图2 6 b 所示 对应的表示式为 2 27 例2 9试用阶跃函数表示图2 7所示的延时脉冲信号和方波信号 解w1 t u t t0 2u t 2t0 u t 3t0 w2 t u t u t 1 u t 2 u t 3 u t 4 u t 5 w3 t u t u t t0 u t 2t0 u t 3t0 u t 4t0 u t 5t0 图2 7例2 9图 阶跃信号最重要的特性是有单边性 任意连续时间信号f t 0 而t 0时 信号为零 如图2 8所示 图2 8阶跃信号的单边特性 从阶跃信号与冲激信号的定义 可以导出阶跃信号与冲激信号之间的关系 即有 2 28 2 29 这表明冲激信号是阶跃信号的一阶导数 阶跃信号是冲激信号的时间积分 从它们的波形可见 阶跃信号u t 在t 0处有间断点 对其求导后 即产生冲激信号 t 以后对信号求导时 凡不连续点的导数就用冲激信号或延时冲激信号来表示 冲激信号的强度就是不连续点的跳跃值 如图2 9所示 图2 9冲激信号与阶跃信号之间的关系 3 斜坡信号 斜坡信号以符号 t 表示 其定义为 2 30 还可以表示为 2 31 图2 10斜坡信号与延迟斜坡信号 还可以表示为 t t0 t t0 u t t0 t 2 33 应用斜坡信号与阶跃信号 可以表示任意的三角脉冲信号 如图2 11所示 此时f t 可写为 f t t 1 u t 1 t 2 u t 2 u t 2 2 32 图2 11斜坡信号表示三角脉冲信号 从阶跃信号与斜坡信号的定义 同样可以导出阶跃信号与斜坡信号之间的关系 即有 2 34 2 35 4 冲激偶信号 对冲激信号 t 求时间导数 得到一个新的奇异信号 即冲激偶信号 其表示式为 2 36 图2 12冲激偶信号 2 2 2冲激信号的特性 1 筛选特性如果信号f t 是一个在t t0处连续的普通函数 则有2 取样特性 如果信号f t 是一个在t t0处连续的普通函数 则有f t t t0 f t0 t t0 2 38 2 3 展缩特性 上式的证明可利用冲激函数的泛涵定义 即只需证明 2 39 2 40 4 卷积特性 如果信号f t 是一个任意连续时间函数 则有上式表明任意连续时间信号f t 与冲激信号 t 相卷积 其结果还是信号f t 本身 冲激信号的上述特性在信号与系统的分析中具有重要的作用 下面举例说明冲激信号特性的应用 2 41 例2 10计算下列各式的值 解 2 2 3初始状态等效为信号源 引入奇异函数概念之后 我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系 在任意时刻t 图2 13 a 中电容端口电压uC t 与电容电流i t 的关系是 如果选初始时刻为t 0 那么 在t 0的任意时刻 上式可写为 式中u t 为单位阶跃信号 积分下限取0 是考虑到iC t 可能包括冲激信号 t 0时的冲激 如果iC t 不包含冲激信号 即iC t 连续有界 则可不必区分0 与0 或写为 2 42 图2 13t 0时 电容的时域模型 将式 2 42 求导数并乘以C 得 2 43 移项 有 图2 1 中 a b c 三个电路对于端口电压uC t 和电流iC t 来说是互相等效的 同理 对于电感L 也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图2 14所示 2 44 2 45 从式 2 44 式 2 45 和图2 14中可知 具有初始电流iL 0 的电感L 在t 0 的时间范围内 可用初始状态为零的电感L与电流源iL 0 相并联表示 或与电压源LiL 0 t 相串联表示 图2 14中 a b c 三个电路是互相等效的 图2 14t 0时 电感的时域模型 2 3冲激响应和阶跃响应 2 3 1冲激响应 一线性非时变系统 当其初始状态为零时 输入为单位冲激信号 t 所引起的响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 用h t 表示 亦即 冲激响应是激励为单位冲激信号 t 时 系统的零状态响应 其示意图如图2 15所示 图2 15冲激响应示意图 1 冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等 方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等 根据此规则即可求得系统的冲激响应h t 例2 11已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h t 解根据系统冲激响应h t 的定义 当f t t 时 即为h t 即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号 t 为了保持动态方程式的左右平衡 等式左侧也必须含有 t 这样冲激响应h t 必为Ae tu t 的形式 考虑到该动态方程的特征方程为 特征根 1 3 因此可设h t Ae 3tu t 式中A为待定系数 将h t 代入原方程式有 即 解得A 2 因此 系统的冲激响应为 求导后 对含有 t 的项利用冲激信号 t 的取样特性进行化简 即 例2 12已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h t 解由原方程可得 由于动态方程式右侧存在冲激信号 t 为了保持动态方程式的左右平衡 等式左侧h t 最高次h t 也必须含有 t 这样 冲激响应h t 必含有 t 项 考虑到动态方程式的特征方程为特征根为 1 6 因此设式中A B为待定系数 将h t 代入原方程式有 解得 即 因此 系统的冲激响应为 例2 13已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h t 解由原方程可得 考虑到该动态方程的特征方程为 2 3 2 0 特征根 1 1 2 2 因此设 式中A B为待定系数 将h t 代入原方程式 解得A 1 B 1 因此 系统的冲激响应为 例2 14RLC串联电路如图2 16所示 R 3 L 0 5H C 0 25F 电路输入激励为单位冲激电压 t 电路的初始状态为零 试求系统的冲激响应电容电压uC t 解由KVL 由VAR 即有 图2 16RLC串联电路 考虑到该动态方程的特征方程为 代入R L C元件参数值并化简得 特征根因此设 式中A B为待定系数 则有u C t 2Ae 2t 4Be 4t u t A B t u C t 4Ae 2t 16Be 4t u t 2A 4B t A B t 将u C t u C t 及u t 代入原动态方程式解得 A 4 B 4 因此 系统的冲激响应电容电压为 uC t 4e 2t 4e 4t u t 根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h t 时 若等式左边求导的最高阶次为n次 等式右边求导的最高阶次为m次 且动态方程的特征方程的特征根全为单根时 则有 2 46 2 47 n m时 n m时 2 等效初始条件法 系统冲激响应h t 的求解还有另一种方法 称为等效初始条件法 冲激响应h t 是系统在零状态条件下 受单位冲激信号 t 激励所产生的响应 它属于零状态响应 例2 15已知某线性非时变 LTI 系统的动态方程式为 y t 3y t 2f t t 0 试求系统的冲激响应h t 解冲激响应h t 满足动态方程式 h t 3h t 2 t t 0 由于动态方程式右边最高次为 t 故方程左边的最高次h t 中必含有 t 故设 h t A t Bu t 因而有h t Au t 将h t 与h t 分别代入原动态方程有 A t Bu t 3Au t 2 t A t B 3A u t 2 t 解得 A 2 B 6 例2 16已知某线性非时变 LTI 系统的动态方程式为y t 5y t 4y t 2f t 3f t t 0 试求系统的冲激响应h t 解冲激响应h t 满足动态方程式 h t 5h t 4h t 2 t 3 t t 0 由于动态方程式右边最高次为 t 故方程左边的最高次h t 中必含有 t 故设 h t A t B t Cu t 因而有 h t A t Bu t h t Au t 将h t h t 与h t 分别代入原动态方程式可解得 A 2 B 7 C 27 因此可得 h 0 A 2 h 0 B 7 h 0 27 例2 17已知某线性非时变系统 LTI 的动态方程式为 y t 3y t 2f t 5f t t 0 试求系统的冲激响应h t 解冲激响应h t 满足动态方程式 h t 3h t 2 t 5 t t 0由于动态方程式右边最高次为 t 故方程左边的最高次h t 中必含有 t 故设 h t A t B t Cu t 因而有 h t A t Bu t 将h t 与h t 分别代入原动态方程有 A t A B t B C u t 2 t 5 t 解得 A 2 B 3 C 3 以上表示在t 0处 h t 含有幅度为B的跳变 h t 含有幅度为C的跳变 因此可得 h 0 B h 0 C 3 其它方法 系统的冲激响应h t 反映的是系统的特性 只与系统的内部结构和元件参数有关 而与系统的外部激励无关 但系统的冲激响应h t 可以由冲激信号 t 作用于系统而求得 在以上两种求解系统冲激响应h t 的过程中 都是已知系统的动态方程 例2 18已知某线性非时变 LTI 系统在f1 t 4u t 1 作用下 产生的零状态响应为 y1 t e 2 t 2 u t 2 4u t 3 试求系统的冲激响应h t 解已知系统在f1 t 作用下产生响应为y1 t 而系统的冲激响应h t 为系统在冲激信号 t 作用下产生的零状态响应 因此 为求得系统的冲激响应h t 只需找出f1 t 与冲激信号 t 之间的关系即可 已知f1 t 4u t 1 y1 t e 2 t 2 u t 2 4u t 3 根据线性系统的特性 可以有 根据非时变系统的特性 可以有 2 3 2阶跃响应 一线性非时变系统 当其初始状态为零时 输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 用g t 表示 阶跃响应是激励为单位阶跃函数u t 时 系统的零状态响应 如图2 17所示 图2 17阶跃响应示意图 如果描述系统的微分方程是式 2 7 将f t u t 代入 可求得其特解若式 2 7 的特征根 i i 1 2 n 均为单根 则系统的阶跃响应的一般形式 n m 为 2 48 2 4 例2 19若描述系统的微分方程为 y t 3y t 2y t 1 2f t 2f t 试求系统的阶跃响应 解系统的特征根为 1 1 2 2 由式 2 49 知 其阶跃响应 g t c1e t c2e 2t 1 u t 它的一阶 二阶导数 考虑到冲激函数的抽样性质 分别为 g t c1 c2 1 t c1e t 2c2e 2t u t g t c1 c2 1 t c1 2c2 t c1e t 4c2e 2t u t 将f t u t y t g t 及其导数g t 和g t 代入系统的微分方程 稍加整理得 c1 c2 1 t 2c1 c2 3 t 2u t 1 2 t 2u t 由系统对应相等有 所以 系统的阶跃响应为 2 4卷积积分 2 4 1信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时 常常需要将信号分解为基本信号的形式 这样 对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析 从而将复杂问题简单化 且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰 信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例 图2 18信号分解为冲激序列 从图2 18可见 将任意信号f t 分解成许多小矩形 间隔为 各矩形的高度就是信号f t 在该点的函数值 根据函数积分原理 当 很小时 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f t 而当 0时 可以用这些小矩形来精确表达信号f t 即 式 2 52 只是近似表示信号f t 且 越小 其误差越小 当 0时 可以用上式精确地表示信号f t 由于当 0时 k d 且 故式 2 52 在 0时 有 2 53 2 4 2卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf t 时 将任意信号f t 都分解为冲激信号序列 然后充分利用线性非时变系统的特性 从而解得系统在任意信号f t 激励下的零状态响应yf t 由式 2 53 可得 上式表明 任意信号f t 可以分解为无限多个冲激序列的叠加 不同的信号f t 只是冲激信号 t k 前的系数f k 不同 系数亦即是该冲激信号的强度 这样 任一信号f t 作用于系统产生的响应yf t 可由诸 t k 产生的响应叠加而成 对于线性非时变系统 若系统的冲激响应为h t 则有下列关系式成立 系统的零状态响应yf t 为输入激励f t 与系统的冲激响应h t 的卷积积分 为 2 54 例2 20已知某线性非时变 LTI 系统的动态方程式为 y t 3y t 2f t t 0 输入激励为3u t 试求系统的零状态响应yf t 解首先计算系统的冲激响应h t 即 h t 3h t 2 t t 0 应用冲激平衡法 故可设h t Ae 3tu t 将h t 及h t 分别代入冲激响应微分方程式得 Ae 3t t 3Ae 3tu t 3Ae 3tu t 2 t t 0 解得A 2 因此 冲激响应h t 2e 3tu t 系统的零状态响应为 由上例可见 如果激励f t 和冲激响应h t 均为因果函数 即有t 0 f t 0 h t 0 并且系统的特征根均为单根 那么全响应 2 55 例2 21RC串联电路如图2 19所示 已知电路的激励uS t e tu t 试求零状态响应yf t uC t 图2 19例2 21图 解由KVL得 uR t uC t uS t 由于激励信号uS t 和冲激响应信号h t 都是有始信号 所以 对于t 0 有 因此 零状态响应 例2 22已知某线性非时变 LTI 系统数学模型为输入激励f t e tu t 且已知h 0 0 h 0 1 试用卷积积分法求系统的零状态响应yf t 解系统的特征方程为 2 3 2 特征根为 1 1 2 2 又因为n m 因此 设 h t c1e t c2e 2t u t 由h 0 0 h 0 1 解得c1 1 c2 1 因此 系统的冲激响应 h t e t e 2t u t 由于激励f t e tu t 和冲激响应h t 均为因果函数 因此 在t 0时 有 因此 零状态响应 yf t te t e t e 2t u t 2 4 3卷积积分的性质 1 卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算 它具有以下基本特征 1 交换律 2 56 式 2 56 说明两信号的卷积积分与次序无关 即系统输入信号f t 与系统的冲激响应h t 可以互相调换 其零状态响应不变 图2 20系统级联满足交换律 2 分配律 f1 t f2 t h t f1 t h t f2 t h t 2 57 式 2 57 的实际意义如图2 21所示 表明两个信号f1 t 与f2 t 叠加后通过某系统h t 将等于两个信号分别通过此系统h t 后再叠加 图2 21卷积分配律示意图 3 结合律 设有u t v t w t 三函数 则有 u t v t w t u t v t w t 2 58 由于 此时积分变量为 此时积分变量为 而从上式来看 对变量 而言 无异于一常数 可引入新积分变量x 则有 x d dx 将这些关系代入上式右边括号内 则有 交换积分次序 并根据卷积定义 即可得 4 卷积的微分特性 设 y t f t h t h t f t 则 y t f t h t h t f t 2 59 证明 5 卷积的积分特性 设 y t y t h t h t f t 则 y 1 t f 1 t h t h 1 t f t 2 60 式中y 1 t f 1 t 及h 1 t 分别表示y t f t 及h t 对时间t的一次积分 6 卷积的等效特性设 y t f t h t h t f t 则 y t f 1 t h t f t h 1 t 2 61 证明根据式 2 59 卷积微分特性 有 y t f t h t h t f t 将上式对时间t积分 即可证明式 2 61 式 2 61 说明 通过激励信号f t 的导数与冲激响应h t 的积分的卷积 或激励信号f t 的积分与冲激响应h t 的导数的卷积 同样可以求得系统的零状态响应 这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径 上述性质4 5 6 可以进一步推广 其一般形式如下 设 y t f t h t h t f t 则 y i j t f i t h j t h j t f i t 2 62 7 卷积的延时特性 若 f t h t y t 则有 f t t1 h t t2 y t t1 t2 2 63 2 奇异信号的卷积特性 含奇异信号的卷积积分具有以下特性 1 延时特性 f t k t t0 kf t t0 2 64 图2 22理想延时器及其冲激响应 同理 如果一个系统的冲激响应h t 为 t 则此系统称为理想放大器 其中k称为放大器的增益或放大系数 如图2 23所示 当信号f t 通过该放大器时 其输出为 y t f t k t kf t 即输出是输入信号f t 的k倍 图2 23理想放大器及其冲激响应 2 微分特性 f t t f t 2 65 即 任意信号f t 与冲激偶信号 t 卷积 其结果为信号f t 的一阶导数 如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 t 则此系统称为微分器 如图2 24所示 图2 24微分器及其冲激响应 3 积分特性即 任意信号f t 与阶跃信号u t 卷积 其结果为信号f t 本身对时间的积分 如果一个系统的冲激响应为阶跃信号u t 则此系统称为积分器 如图2 25所示 2 66 图2 25积分器及其冲激响应 例2 23设系统的冲激响应为h t t T t T 如图2 26 a 所示 输入信号为f t 如图2 26 b 所示 试求系统在信号f t 激励下的零状态响应 解ff t f t h t f t t T t T f t T f t T 也就是说 只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号f t 即可 卷积结果 即系统的零状态响应 如图2 26 c 所示 图2 26例2 23信号波形 例2 25已知f t e tu t h t u t u t 2 试求两信号的卷积y t f t h t 解根据卷积运算的分配律 有 ff t f t h t f t u t u t 2 f t u t f t u t 2 f 1 t f 1 t 2 亦可利用卷积的等效特性来计算 即 yf t f t h t f 1 t h t f 1 t u t u t 2 f 1 t t t 2 f 1 t f 1 t 2 可见两种方法计算结果一样 进一步求解可得卷积的最后结果为 例2 26已知某线性非时变 LTI 系统如图2 27所示 已知图中h1 t u t h2 t t 1 h3 t e 3 t 2 u t 2 试求该系统的冲激响应h t 解当多个子系统通过级联 并联组成一个大系统时 大系统的冲激响应h t 可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到 从图2 27可见 子系统h1 t 与h2 t 是级联关系 而h3 t 支路与h1 t 及h2 t 组成的支路是并联关系 因此 h t h1 t h2 t h3 t h t t 1 e 3 t 2 u t 2 u t 1 e 3 t 2 u t 2 图2 27例2 26系统框图 2 4 4卷积积分的计算 1 解析计算参与卷积的两个信号f1 t 与f2 t 都可以用解析函数式表达 可以直接按照卷积的积分定义进行计算 例2 27已知f1 t e 3tu t f2 t e 5tu t 试计算两信号的卷积f1 t f2 t 解根据卷积积分的定义 可得 例2 28已知信号f1 t e 3 t 1 u t 1 与f2 t e 5 t 2 u t 2 试计算两信号的卷积f1 t f2 t 解根据卷积积分的定义 可得 在例2 27中 f1 t 的起点为0 f2 t 的起点为0 故f1 t f2 t 的起点也为零 在例2 28中 f1 t 的起点为1 f2 t 的起点为2 故f1 t f2 t 的起点为1 2 3 例2 29可以验证终点之间的关系 它们的关系如图2 28所示 图2 28例2 29图 在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时 对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到 避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算 卷积积分表如表2 2所示 当然 在利用解析式进行求解信号卷积时 可以利用卷积的一些特性来简化运算 表2 2卷积积分常用公式表 2 图解计算 对于一些较简单的函数符号 如方波 三角波等 可以利用图解方式来计算 而且 熟练掌握图解卷积的方法 对理解卷积的运算过程是有帮助的