1995-1999年高考数学试题全国卷.doc

中国大方题库网 1995年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷1.已知I为全集,集合M, ,若MN=N,则A. B. C. D. 2.函数的图象是3.函数的最小正周期是4.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是5.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则A.k1k2k3 B.k3k1k2 C.k3k2k1 D.k1k3arccosx成立的x的取值范围是8.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是9.已知是第三象限角，且sin4+cos4=,那第sin2等于10.已知直线l平面,直线m平面,有下面四个命题:其中正确的两个命题是A.与 B.与 C.与 D.与11.已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数,则a的取值范围是A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.2,+)12.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn与Tn,若，则等于13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.6014.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是15.如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,BCA=90,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成的角的余弦值是16.不等式的解集是_17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为，则圆台的体积与球体积之比为_.18.函数的最小值_19.直线l过抛物线y2=a(x+1)(a0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a= .20.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_种(用数字作答).21.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点),已知Z2对应复数经z2=1+,求Z1和Z3对应的复数。22.(本小题满分10分)求sin220+cos250+sin20cos50的值.23.(本小题满分12分)如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形,点E在底面的圆周上,AFDE,F是垂足. (1)求证:AFDB;(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3,求直线DE与平面ABCD所成的角.24.(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8x14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?25.(本小题满分12分)设an是由正数组成的等比数列,Sn是其前n项和.(1)证明；(2)是否存在常数c0,使得成立?并证明你的结论.26.(本小题满分12分)已知椭圆，直线l:,P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足OQOP=OR2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 试题答案1.C2.B3.C4.B5.D6.D7.B8.C9.A10.D11. B12. C13. A14. D15. A16.(2,4)17. 18. 19. 420. 14421. 本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力.解:设Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3,依题设得22. 本小题主要考查三角恒等式和运算能力.解:23. 本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力. (1)证明:根据圆柱性质,DA平面ABE.EB平面ABEDAEB.AB是圆柱底面的直径,点E在圆周上,AEEB,又AEAD=A,故得EB平面DAE.AF平面DAEEBAF.又AFDE,且EBDE=E,故得AF平面DEB.DB平面DEBAFDB.(2)解:过点E作EHAB,H是垂足,连结DH.根据圆柱性质,平面ABCD平面ABE,AB是交线.且EH平面ABE,所以EH平面ABCD.又DH平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影,从而EDH是DE与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是V圆柱=2R3,VD-ABE=ADSABE=EH由V圆柱:VD-ABE=3,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心,AH=R,24. 本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.解:(1)依题设有化简得 5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式=800-16t20时,可得由0,t0,8x14,得不等式组:解不等式组,得,不等式组无解.故所求的函数关系式为 函数的定义域为0，(2)为使x10,应有化简得t2+4t-50.解得t1或t-5,由t0知t1.从而政府补贴至少为每千克1元.25. 本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.(1)证明:设an的公比为q,由题设a10,q0.(i)当q=1时,Sn=na1,从而(ii) 当q1时，从而 由(i)和(ii)得SnSn+2S2n+1.根据对数函数的单调性,知即(2)解:不存在.证明一:要使成立,则有分两种情况讨论:(i)当q=1时, (Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=(na1-c)(n+2)a1-c-(n+1)a1-c2=-a120,使结论成立.(ii)当q1时,若条件成立,因为 (Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=-a1qna1-c(1-q),且a1qn0,故只能有a1-c(1-q)=0即c=a1/(1-q)此时,因为c0,a10,所以0q1.但0q0,使结论成立。综合(i)、(ii),同时满足条件、的常数c0不存在,即不存在常数c0,使证法二:用反证法,假设存在常数c0,使则有由得SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+1).根据平均值不等式及、知Sn+Sn+2-2Sn+1=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)因为c0,故式右端非负,而由(1)知,式左端小于零,矛盾.故不存在常数c0,使26. 本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹的概念和求法,利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力. 解法一:由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xP,yP),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.当点P不在y轴上时,由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线,得方程组解得由于点P在直线l上及点O、Q、P共线,得方程组解得当点P在y轴上时,经验证-式也成立.由题设OQOP=OR2,得将-代入上式,化简整理得因x与xp同号或y与yp同号,以及、知2x+3y0,故点Q的轨迹方程为(其中x、y不同时为零)所以点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长、短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.解法二:由题设知点Q不在原点.设P,R,Q的坐标分别为(xp,yp),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.设OP与x轴正方向的夹角为,则有 xp=OPcos,yp=OPsin;xR=ORcos,yR=ORsin;x=OQcos,y=OQsin;由上式及题设条件|OQ|OP|=|OR|2，得由点P在直线l上,点R在椭圆上,得方程组将,代入,整理得点Q的轨迹方程为(其中x、y不同时为零)与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.中国大方题库网 1996年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷(理) (1)已知全集I=N,集合A=xx=2n,nN,B=xx=4n,nN,则(2)当a1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是(3)若sin2xcos2x,则x的取值范围是(4)复数等于(5)如果直线l、m与平面、满足：l=,l/,m和m那么必有(A)且lm(B)且m(C)m且lm(D)且(6)当，函数的(A)最大值是1，最小值是-1(B)最大值是1，最小值是-(1/2)(C)最大值是2，最小值是-2(D)最大值是2，最小值是-1(7)椭圆的两个焦点坐标是(B)(A)(-3,5),(-3,-3)(B)(3,3,),(3,-5)(C)(1,1,),(-7,1)(D)(7,-1,),(-1,-1)(8)若，则等于(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥D-ABC的体积为(10)等比数列an的首项a1=-1，前n项的和为Sn，若，则等于(11)椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是(12)等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)260(13)设双曲线的半焦距为c，直线l过两点(a,0)(0,b)。已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角等于(15)设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0x1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5(16)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切.则P= .(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有 个(用数字作答).(18)tg20+ tg40+tg20tg40的值是_(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60的二面角,则异面直线AD与BF所成角的余弦值是 (20)解不等式。(21)已知ABC的三个角A，B，C满足A+C=2B，,求的值(22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC侧面AC1.()求证:BE=EB1;()若AA1=A1B1;求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的度数.注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为()的完整证明,并解答().23.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?(24)已知l1、l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2(I)求l1的斜率k1的取值范围；(II)若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.25.已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1x1时,f(x)1.()证明:cl;()证明:当-1x1时,g(x)2;()设a0,当-1x1时,g(x)的最大值为2,求f(x).试题答案1. C2. A3. D4. B5. A6. D8. A9. D10. B11. C12. C13. A14. D15. B16. 217. 3218. 19. . 20. 本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.解:()当a1时,原不等式等价于不等式组:由此得因为1-a0,所以x0,()当0a1或x0,由(2)得,0x,1x1时，不等式的解集为 当0a0时,g(x)=ax+b在-1,1上是增函数,g(-1)g(x)g(1),f(x)1(-1x1),c1,g(1)=a+b=f(1)-cf(1)+c2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c-(f(-1)+c2,由此得g(x)2;5分当a0,g(x)在-1,1上是增函数,当x=1时取得最大值2,即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.-1f(0)=f(1)-21-2=-1,c=f(0)=-1.10分因为当-1x1时,f(x)-1,即f(x)f(0),根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得由 得a=2.所以 f(x)=2x2-1.12分 中国大方题库网 1997年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷(理)(1)设集合M=x0x2,集合N=xx2-2x-30,集合MN为(A)x0x1(B)x0xb0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)q,且p1,q1.设cn=an+bn,sn为数列cn的前n项和.求(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.()全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;()为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?(23)(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. ()证明ADD1F;()求AE与D1F所成的角;()证明面AED面A1FD1;(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足()当x(0,x1)时,证明xf(x)试题答案1. B2. B3. A4. C5. B6. D7. D8. C9. B10. B11. A12. D13. C14. C15. D16. 417. 18. 19. 20. 本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：-2分于是由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角,故OPQ为等腰直角三解形解法二:由此得OPOQ,OP=OQ.由此知OPQ有两边相等且其夹角为直角,故OPQ为等腰直角三角形.-10分21. 本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解: ,分两种情况讨论.()p1.=p.-7分()p1.0qpbc2,故有a-bcva-bc20,也即当v=c时,全程运输成本y最小. 23. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:()AC1是正方体,AD面DC1.又D1F面DC1,ADD1F.-2分()取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1GD1F.设A1G与AE相交于点H,则AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以RtA1AGRtABE,GA1A=GAH，从而AHA1=90,即直线AE与D1F所成角为直角.-5分()由()知ADD1F,由()知AED1F,又ADAE=A,所以D1F面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED面A1FD1.-7分()连结GE,GD1.FGA1D1,FG面A1ED1,AA1=2,面积SA1GE=SABB1A1-2SA1AG-SGBE= 24. 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:()令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以F(x)=a(x-x1)(x-x2).-2分当x(0,x1)时,由于x10,又a0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)0,即x0,1+a(x-x2)=1+ax-ax21-ax20.得x1-f(x)0.由此得f(x)x1.-7分()依题意知因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,即x1,x2是方程ax2+(b-1)x+c=0的根.,因为ax21，且前n项和Sn满足，那么a1的取值范围是A(1,+) B(1,4) C(1,2) D(1,) 16、设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _。17、的展开式中x10的系数为_ （用数字作答）。18、如图，在直四棱柱A1B1C1D1 ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1。（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）19、关于函数，有下列命题：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；的表达式可改写为；的图象关于点对称；的图象关于直线对称。其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。）20、（本小题满分10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设。求sinB的值。以下公式供解题时参考：21、（本小题满分11分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1。以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形， |AM|=，|AN|=3且|BN|=6。建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。22、（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。23、（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2，且AA1A1C，AA1=A1C。（）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。24、（本小题满分12分）设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。（）写出曲线C1的方程；（）证明曲线C与C1关于点对称；（）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明且t0。25、（本小题满分12分）已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145。（）求数列bn的通项bn；（）设数列bn的通项（其中a0，且a1），记Sn是数列an的前n项和。试比较Sn与的大小，并证明你的结论。试题答案1. D2. B3. B4. A5. B6. B7. C8. D9. A10. B11. D12. A13. B14. B15. D16. 17. 17918. ACBD，或任何能推导出这个条件的其他条件。例如ABCD是正方形，菱形等。19. ， 注：第19题多填、漏填和错填均给0分。20. 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。满分10分。解：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB 由和差化积公式得由A+B+C= 得 21. 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。满分11分。解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。由，两式联立解得。再将其代入式并由p0解得因为AMN是锐角三角形，所以，故舍去p=4,xA=1由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AEl1,ADl2，BFl2垂足分别为E、D、F设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)依题意有 22. 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。满分12分。解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。这时a=6,a=-10(舍去) 将a=6代入式得b=3。故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大。由题设知 当且仅当a=2b时，上式取等号。由a0,b0，解得01时， 当 0a1时， 当0a0）在区间a，b上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M，则函数g（x）=Mcos（x+）在a，b上（A）是增函数 （B）是减函数（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M（5）若f（x）sinx是周期为的奇函数，则f（x）可以是（A）sin x （B）cos x （C）sin 2x （D）cos 2x（6）在极坐标系中，曲线4sin（-/3）关于（A）直线=/3轴对称 （B）直线=6/5轴对称（C）点（2，/3）中心对称 （D）极点中心对称（7）若于毫升水倒人底面半径为2cm的圆杜形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（8）若（2x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为（A）l （B）-1 （C）0 （D）2（9）直线x+y2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为（A）/6（B）/4（C） /3（D）/2(10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF/AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（A）9/2（B）5 （C）6 （D）15/2（11）若sinatgactga(-/2a/2)，则a（A） (-/2,-/4) （B）（-/4，0） （C）（0，/4） （D）（/4，/2）（12）如果圆台的上底面半径为5下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）已知两点M（1，5/4）、N（-4，-5/4），给出下列曲线方程：4x 2y-1=0x2+y2=3 x2/2+y2=1 x2/2-y2=1在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A） （B） （C） （D）（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘