高中数学基础知识归类-献给高三(文理科)考生.doc

高中数学基础知识归类献给高三(文科)考生 最后冲刺的诀窍：高考最后两个月要拾遗补缺。抓基础，理清头脑中的知识网络，而不应该去攻难度太大的题。可适当去做一些综合性的题，对自己会很有好处的。如果以前有错题本的话，现在应该看看了；最后一个月复习数学关键是“看”：看练习题，看复习资料。一眼能看出解题思路的，从此不管它；看不出的，就在草稿纸上演算，演算到理清思路为止，并在题前做“#”记号；很难的综合题，则进行正规演算，目的仍是寻找思路，这种题一直做出了结果，就在题前做“*”记号。三五天或一周之后，再回过头来看，有“#”的看一看，一般能看出从何处下手；有“*”的看一看，在草稿纸上演算，知道怎么做再停止。因为这个时候正确与否不重要，重要的是知道该如何下手解这些题，以及需要用哪些知识来解题。基础知识一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：函数的定义域；函数的值域； 函数图象上的点集.2.集合的性质： 任何一个集合是它本身的子集,记为.空集是任何集合的子集,记为.空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况含个元素的集合的子集个数为；真子集个数为；非空真子集个数为.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。4.原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“”是“”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件或q的一个充分非必要条件是p或p的一个必要非充分条件是q).6.注意命题的否定与它的否命题的区别: 命题的否定是；否命题是. 命题“或”的否定是“且”；“且”的否定是“或”. 如：“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是“若和不都是偶数,则是奇数” 否定是“若和都是偶数,则是奇数”.7.常见结论的否定形式原命题中含有全称量词（或存在量词），命题的否定必有存在量词(或全称量词)原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或二.函数1.映射:是： “一对一或多对一”的对应；集合中的元素必有象且中不 同元素在中可以有相同的象；集合中的元素不一定有原象(即象集). 一一映射:： “一对一”的对应；中不同元素的象必不同,中元素都有原象.2.函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数 且；零指数幂的底数)；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.5.求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；逆求法(反函数法)；换元法(特别注意新元的范围).三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； 不等式法单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； 判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法； 方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。7.函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； 若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原点()； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或； 复合函数的奇偶性特点是：同则偶异则奇. 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个 (如定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时注意定义域） 如：函数的单调递增区间是.(答：)8.函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（注意是针对而言）； 上下平移-“上加下减”(注意是针对而言).翻折变换：；. 对称变换：函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称； 若函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称； 若对时,恒成立,则图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)；9.函数的周期性：若对时恒成立,则 的周期为； 若是偶函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； 若奇函数,其图像又关于直线对称,则的周期为； 若关于点,对称,则的周期为； 的图象关于直线,对称,则函数的周期为； 对时,或,则的周期为；10.对数：；对数恒； ； ；对数换底公式； 推论：.11.方程有解(为的值域)；恒成立, 恒成立.12.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题；13.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”： 一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14.二次函数解析式的三种形式： 一般式：；顶点式： ； 零点式：.15.一元二次方程实根分布:先画图再研究、轴与区间关系、区间端点函数值符号;16.复合函数：复合函数定义域求法：若的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出；若的定义域为,求的定义域，相当于时,求的值域；复合函数的单调性由“同增异减”判定.17.对于反函数,应掌握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： (或)(或)；19.函数的图像是双曲线：两渐近线分别直线(由分母为零确定)和 直线(由分子、分母中的系数确定)；对称中心是点； 20.函数：增区间为,减区间为. 如：已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围是 (答：).三.数列1.由求, 注意验证是否包含在后面的公式中,若不符合要 单独列出.如：数列满足，求(答：).2.等差数列(为常数) ；3.等差数列的性质： ,； (反之不一定成立)；特别地,当时,有； 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； 等差数列,当项数为时,；项数为时, ,且；. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析.4.等比数列.5.等比数列的性质 ,；若、是等比数列，则、等也是等比数列； ；(反之不一定成 立)；. 等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列. 6.如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列,则数列是等差数列； 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； 三个数成等差的设法：；四个数成等差的设法：； 三个数成等比的设法：；四个数成等比的错误设法：(为什么？)7.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如, (为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 再求.形如的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项.8.数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；公式：；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法. 四.三角函数1.终边与终边相同；终边与终边共线；终边 与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称 ；终边与终边关于原点对称； 2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度().3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.4.三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、”的关系.如等.5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视a为锐角)6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.如：； 等；“”的变换：；7.重要结论：其中）；重要公式 .万能公式：；.8.正弦型曲线的对称轴；对称中心； 余弦型曲线的对称轴；对称中心；9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：； 余弦定理：； 正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径； 面积公式：；射影定理：.10.中,易得：,. ,. 锐角中,类比得钝角结论. .11.角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；直线的倾斜角；注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.五.平面向量1.设,. (1)；(2).2.平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向 量,有且只有一对实数、,使.3.设,则；其几何意义是等于的长度 与在的方向上的投影的乘积；在的方向上的投影.4.三点、共线与共线；与共线的单位向量.5.平面向量数量积性质：设,则；注意: 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.6.平面向量数量积的坐标表示：若,则； ； 若,则.7.,三点共线存在实数、使得且.9.三角形中向量性质：过边的中点：； 为的重心； 为的垂心； 六.不等式1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意： 若,则.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法.3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)， (当且仅当时,取等号)；(3)公式注意变形如：, ；(4)若,则(真分数的性质)；5.证明不等式常用方法：比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.七.直线和圆的方程1.直线的倾斜角的范围是；2.直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：3.直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线.斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为,它不包括垂直于轴的直线. 两点式：已知直线经过 、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线.截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式. 提醒：直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为.直线两截距相等直线的斜率为或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为或直线过原点. 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.4.直线与直线的位置关系： 平行(斜率)且(在轴上截距)； 相交；(3)重合且.5.直线系方程：过两直线：,：.交点的直线系方程可设为；与直线平行的直线系方程可设为 ；与直线垂直的直线系方程可设为.6.点到直线的距离公式； 两条平行线与的距离是.8.设三角形三顶点,则重心；9.圆的标准方程：. 圆的一般方程： .特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为的圆(二元二次方程表示圆,且). 圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是三角换元：； 10.点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点及圆的方程 .点在圆外； 点在圆内；点在圆上.11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.相离相切相交13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：两圆相离；两圆相外切； 两圆相交；两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.14.过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程为.时为两圆相交弦所在直线方程.15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).16.求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.八.圆锥曲线方程1.椭圆焦半径公式：设为椭圆上任一点,焦点为, 则(“左加右减”)；2.双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为,则：当点在右支上时,；当点在左支上时, ；(为离心率).另：双曲线的渐近线方程为.3.抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点,为焦点,则 ；上任意一点,为焦点，则.4.共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,).5.两个常见的曲线系方程：共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中 .当时,表示椭圆；当时,表示双曲线.6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 (弦端点,由方程消去得到,为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想；7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为,抛物线的通径为,焦准距为； 双曲线的焦点到渐近线的距离为；8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为(对于椭圆)；9.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论： ；,； .10.椭圆左焦点弦,右焦点弦.11.对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算.12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.13.求轨迹方程的常用方法： 直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法. 待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. 代入法(相关点法或转移法). 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.九.直线、平面、简单几何体1.异面直线所成角的求法：平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；2.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.3.空间距离的求法：求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.4.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；5.球的体积公式,表面积公式；掌握球面上两点、间的距离求法： 计算线段的长；计算球心角的弧度数；用弧长公式计算劣弧的长.十一.概率与统计1.掌握抽样的三种方法：简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；系统抽样,也叫等距 抽样；分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从含有个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 ,第二次被抽到的概率为,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为.5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大, 这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；学会用样本平均数 去估计总体平均数；会用样本方差 去估计总体方差和总体标准方差；6.等可能事件的概率公式：； 互斥事件有一个发生的概率公式为： ；相互独立事件同时发生的概率公式为；十二.导数1.导数的定义：在点处的导数记作.2.函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率, 即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为.5.常见函数的导数公式:(为常数)；.； ；.6.导数的四则运算法则：；.7.复合函数的导数：.8.导数的应用： (1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数； (2)求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得最大值；如果左负右正,那么函数在这个根处取得最小值； (3)求可导函数最大值与最小值的步骤：求在内的极值；将在各极值点点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.十三.复数1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.2.熟练掌握与灵活运用以下结论：且；复数是 实数的条件：；.3.复数是纯虚数的条件: 是纯虚数且； 是纯虚数 ；是纯虚数.4.复数的代数形式：；复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设, ,则, .5.几个重要的结论：；,； .十四.注意答题技巧训练1.技术矫正：考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： 按序答题,先易后难.一定要选择熟题