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谈高中教材中的“向量”内容 邹琼艳 一、向量内容引入的意义1、从中学几何教材的演变看“向量”引入的意义欧几里得(Euclid约公元前330前295)的几何原本问世至今已两千三百年了,几何原本对世界几何教育产生了极其深远的影响。上世纪末希尔伯特(Hilbert18621943)发表几何基础,建立了完善的欧氏几何公理体系。但无论是几何原本还是几何基础,都不是为初学者所写。勒让德(Legendre17521833)1794年为学生写的新几何教材广为流传(一百多年发行33版)。在此基础上各国编写了各自的几何课本。我国现行中学几何教材的基础是解放初参照前苏联几何课本和其他几何课本编写而成的。四十多年来虽然经过多次修改，但基本上是欧氏几何传统内容，解题方法主要是欧氏几何的综合方法。随着时代的变迁，数学的方法发生了变化。因此，传统的欧氏几何作为现代中学的课本显然是不适宜了，但若把欧氏几何完全拒之于中学门外，也是不正确的。如何把欧氏几何中具有较高教育价值的部分与现代社会的需求有机地结合而编写出新的几何教材是数学新教材解决的问题。我国新大纲中向量的引入，用向量作为工具处理立体几何问题，正是适应这一改革趋势的一项重大举措。初中采用传统的欧氏几何方法,有利于继承欧氏几何中具有较高教育价值的部分。如：(1)欧氏几何的鲜明的几何直观与严谨精确的语言的训练；(2)欧氏几何的综合方法对培养学生的逻辑思维能力的训练。通过初中阶段的学习,基本掌握综合方法后，在高中立体几何中便可以从新的高度上用向量的方法去解决问题，同时利用向量作为工具处理立体几何问题，也即把空间结构系统代数化,把空间的研究从“定性”推向到“定量”的深度,有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难,既直观又容易接受。2、从学生学习课程的安排上看高中教材向量引入的意义向量的引入除在立体几何中产生较大影响外，对于中学教材的其它一些内容，也可促进改善教材结构，优化教材内容，简化解题方法。现行高中数学教材在复数的向量表示，复数的四则运算中均应用了向量,但旧教材复数一章中对向量的介绍很简略,新大纲中引入向量后必将深化学生对这部分内容的理解。高中数学中引入向量后，可在三角、解析几何中应用，改善教材结构、简化解题方法，也可通过在平面几何中的应用，加深对向量内容的理解。除了上面提及的几点外，向量在物理学和力学中也有许多应用。高中物理教材在速度、力的合成与分解等内容中应用了向量，数学新大纲引入向量后学习这部分内容既可了解向量的实际应用，又可加深对该部分内容的理解。向量还是学习力学,电学及许多现代科学技术的重要工具,在实际问题中应用非常广泛,高中阶段学习向量内容有利于高中毕业后直接就业者在生产实践中的应用.在高中阶段学习向量也为升学者打了基础，有利于在大学学习“空间解析几何”，“微分几何”，“场论”等内容,可缩短学习周期,有利于他们更好地攀登科学高峰,在现代化建设中发挥骨干作用。总之,新大纲是面向二十一世纪的教学大纲.新大纲在高中数学中引入向量具有深远的意义,对培养二十一世纪的建设者,进行社会主义现代化建设,将发挥日益重要的作用。二、平面向量中的主要数学思想方法：1、数形结合的思想方法数与形是数学研究的两类基本对象，它们既有密切联系，又有各自特点。数形结合的思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。由于向量本身具有代数形式（有序实数对表示）与几何形式（有向线段表示）的双重特点，所以在向量知识的整个学习过程中都体现了数形结合的思想方法。因此，在教学过程中，应注意结合教材内容之特点，及时引导学生捕捉知识与问题中的数形信息，揭示数与形的内在联系与转换方法，帮助学生养成遇数思形，以形助教的良好思维习惯，从而加深理解知识要点，增强应用意识，优化认知结构。2、平移变换的思想方法平移变换是研究函数图像或几何图形的一种重要的思想方法。通过适当平移可使较复杂的函数解析式得到简化或某些几何图形中的隐蔽关系更趋明朗。教学中适时渗透这一思想方法，有助于学生深刻理解知识和顺利地解决有关问题。在平面向量这一章中，相等向量、平等向量共线向量等概念的建立及其相关作图的相关训练；作为向量的一个应用的平移公式的推导、以及运用平移公式解决有关问题，均是这一方法的体现与展示。教学中，有意而及时地对这一思想方法的提示与渗透，于学生数学能力的进一步提高必有裨益。3、化归转换的思想方法研究问题时，将一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思维方法称为化归转换的思想。这种思想在公式与定理的推证及数学问题的解决中被广泛地采用，是一种极为重要的思想方法。在向量教学中，教师经常启发学生有意识地运用这一思想方法来考虑问题，使他们在学习时学得主动、灵活，解题时也就会迅速、正确。如向量的夹角问题，向量的平行、垂直关系的研究均可化归为它们对应向量或向量坐标的运算问题 ：三角形形状（按角分类）的判定可归纳为判断向量的数量积与零的大小的关系问题；向量的数量积性质：作为桥梁，沟通了向量与实数间的转换关系。解题时，可根据问题要求选择将向量运算（向量的数量积）转化为实数运算（向量的模）或将实数运算化归为向量运算。此外，将实际问题抽象为数学（如三角形）问题，由未知化归为已知，从特殊对象中归结出一般规律等，也都是化归思想方法获得运用的常见思想形式。所有上述这些都充分展现了化归思想方法在向量中的“用武之地”，实践表明，化归思想方法在向量中的恰当渗透，确能强化学生思维的目标意识，避免盲目思维，提高学习效率，增强思维的敏捷性和灵活性。4、对应的思想方法 中学数学中的许多知识蕴含着对应的思想，如数轴上的点与实数；坐标平面上的点与有序实数对；函数中的自变量与函数值；角（弧度数）与实数；方程与曲线等，都具有某种对应关系，体现了对应的数学思想方法。同样，在平面向量的知识中，这一思想方法也得到了充分展现，如平面向量与它的几何表示（有向线段）或坐标表示（有序实数对）；两个向量的夹角与范围角，平面向量的线性表示；点P分有向线段与所得线段的比值（-1的实数）等，在教学中，注意适时渗透这一思想方法，提示它们之间的对应关系，则可有效地帮助学生突破学习难点，排除学习障碍，树立学习信心，顺利掌握并灵活运用这些知识，同时学生的数学思维能力亦必将得到一定发展。5、分类讨论的数学思想方法 分类讨论的思想方法在数学中较为普遍，它主要是依据数学对象的不同属性，将数学对象分为不同情形并对其进行研究的一种思想方法。在平面向量的教学中，适时提示分类的思想，帮助学生掌握和善于运用分类讨论的思想方法，有助于他们对知识的加深认识理解和整理消化，从而掌握其本质规律。如向量中的一些知识：平行向量可分为同向量或反向向量；向量和方向上的投影值，随与的夹角的不同有正数、负数或零等三种情形；用向量方法推导正弦定理时，可通过对锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三种情况分别讨论而获得；用正弦定理与余弦定理求解的解三角形分为四种类型，以及对“已知两边和其中一边对角的三角形”型的解的情况的分析判断等，无一不蕴含着分类讨论的思想方法。教学中的及时揭示与恰当渗透，能有效地帮助学生深刻理解，牢固掌握与灵活运用这些知识，从而形成一定的数学能力，提高数学素养。 又如在教学线段的定比分点时，运用分类讨论的思想方法，启发学生对P分有向线段（即向量）P1P2的比值的分析讨论，可得下面的结论；1） 若点P在上，则02） 若点P在的延长线上，则3） 若点P在的反向延长线上，则4） 若点P与P1重合，则5） 若点P与P2重合，则不存在（或视为） 通过上述的分类讨论，学生对这一知识点必将理解更深刻，运用更得心应手，同时亦有益于优化思维品质，训练思维的条理性与严密性，培养和发展思维能力。三、用向量解题的基本思路（向量法和坐标法） 由于向量有几何形式和代数形式，所以向量成了中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因而向量的引入为中学生解题提供了新的有用的工具，所以在学习时要特别注意和强调向量的工具性。利用向量知识去解题有两种基本的思考方法：即向量法与坐标法。1、向量法例1 已知直线平面，直线平面，垂足分别为A，B。求证： 分析 根据共线向量基本定理，若能证得， 则。证明 在平面内，过点A作互相垂直向量 ，以 三个不共面的向量作为基底，（图2）沿基底，分解向量，由空间向量基本定理可设 ， 则：， （1） （2）由，得AC，AD，同理AC，AD。又AC AD， 且，分别代入（1）、（2）得。 。 从本题的证明过程可以看出，用向量法解题的大致步骤如下： 选定基底；进行向量间的运算； 结合有关的定理、推论对向量运算的结果进行分析，得出结论。2、坐标法例2 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴。证明直线AC经过原点O。（2001年全国高考理工类题（19）、文史类题（20）证明 如图3，由于A，B在抛物线上，yxOC可设则 C因A，B，F三点共线，从而有：（为实数），即（ 亦即 （ 图3）又，故A，O，C三点共线，即直线AC过原点O。 本题证明直线AC过原点O，利用向量知识只要证明中实数存在即可，这样将用坐标表示，证明的过程就转化为坐标运算。这种建立适当的坐标系，用坐标来表示向量，通过向量的坐标运算得到问题的解决的就是坐标法。坐标法解决问题的步骤：建立直角坐标系；求出题中相关的点和向量的坐标；利用向量的坐标运算得到问题的结论。四、向量在解题中的应用举例：1、向量与平面解析几何：平面解析几何是利用坐标法去研究平面内的曲线的性质，向量亦有坐标形式，因此，向量在解析几何中的应用比较广泛。1.1、利用两个非零向量的数量积例3 （2000年全国高考题）椭圆的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。解 由题意设则由于为钝角，所以即 又点在椭圆上， 由、不难得到1.2、利用两向量共线的充要条件：充要条件是存在一个实数,使QNABM0yx例4 （2001年安徽春季高考题）已知抛物线若有过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（1）求a的取值范围；（）若线段的垂直平分线交x轴于点，求的面积的最大值。解（）设如图4，则 图4与共线，可得 又直线的斜率为1， 可得令可得(1)设AB的垂直平分线交AB于点，则 （定值）。， 故面积最大值为1.3、利用两个非零向量夹角公式例5 （1999年全国高考题）如图5，给出定点和直线AC-1BOyxB是直线上的动点，的角平分线交AB于点C，求C点的轨迹方程 ，并讨论方程表示的曲线类型a值的关系。解 设则 由OC平分，知(1) 当 （图5） 又与共线，有 将代入得：(2) 当时，点C（0，0）适合。综上（1）、（2）得C的轨迹方程为： （讨论略）1.4、利用两个非零中量的充分条件例6 （2000年北京、安徽春季高考题）如图6，设点A和为B抛物线知原点以外的两个动点，已知求点M的轨迹方程 ，并说明它表示什么曲线。解 设 则（图6） 即 化简得 又 即化简得 ： 又即将代入得：A、B是异于原点的点，故，所以点M的轨迹方程为它表示为圆心，以2p为半径的圆（除去圆点）。2、向量与立体几何：立体几何主要研究直线、平面的位置关系如平行、垂直等，而这些都可以通过向量的运算去讨论。xCFABEA1B1C1D1DyGz例7 在正方体ABCDA1B1C1D1中，G，E，F分别是AA1，AB，BC的中点，试求平面GEF与平面ABCD所成二面角的平面角。 解 建立直角坐标系如图7， 令立正方体棱长为a,则 设平面ABCD的法向量是， 平面FGE的法向量是，显然=（0,0,a） （图7）设平面GEF与平面ABCD 所成的二面角的平面角是，又由图形知，为锐角，C 1D1EB 1A 1DABC所求二面角的平面角为例8 如下图8，平行六面体ABCDA1B1C1D的底面是菱形，（图8）（1） 证明：BDCC1；（2） 若点E是AB1的1中点，证明D1E面BDC1 ；（3） 若CD=2，C1C=32，求二面角C1BDC的大小。 证明 （1）因为又因为ABCD是菱形且 ，且， ，有，得（2）由题设，点E为的中点，则 与不共线，与，共面。又面，面。（1） 设则点O为BD中点，为等边三角形，则OCBD，又，从而是二面角的平面角。 ABCD为菱形， EDCBx3、向量与三角：向量在三角中的应用都与向量的数量积的运算有关。例9 求值解 作一个正五边形ABCDE，边长为1， （图9）且AB与x轴的夹角为（如图9）。由于， 其在x轴上的投影亦为0，注意到各向量与x轴的夹角分别为令x轴上的单位向量为，则4、向量与等式、不等式的证明：通过构造向量，利用向量不等式可轻松证明很多等式、不等式。例10 设 求证： 证明： 若，结论显然。 若不全为0，构造向量=(x，y，z), =(a，b，c),并设=，根据空间向量的数量积知识，则由已知条件得，或，即，=（为实数）。即(x，y，z)= (a，b，c)，例11 已知a，b，c为正数，求的最小值。解 构造向量=(x，a), =(c-x，b),则函数 y=|+|，|+|等号当且仅当时成立，5、 量与求函数最值：适当构造向量，可使一类函数最值问题的思路清晰，解题方法巧妙，并定于规律性、趣味性。定理 m，n为两个向量，则 证明 设两向量的夹角为，则 证毕。5例12 已知点P（x，y）在椭圆上，求最大值。解 构造,依定理，知 即故的最大值是5。例13 已知则的最大值是 。 （第13届“