高中数学必修2-直线方程.doc

快乐课堂学数学-高中数学必修2-多余老师趣讲“直线方程”1、 先说几句多余的话数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科，简单说就是研究“数”与“形”。解析几何是用代数的方法研究几何问题。我们最早接触“解析”这个词，是在初中首次学习函数时出现的。函数的三种表达方法：列表法；解析法；图像法。函数解析式，就是函数的代数表达式。只不过，解析式对格式有特别限制条件：其前部分必须是“y=”。当一个代数表达式，符合这个限制条件时，我们就可以称其为函数，其对应的图像称之为函数图像。当一个代数表达式，不符合这个限制条件时，我们则称其为方程。其对应的图像也只能称为方程的图像。通过以上讲述，多余老师提醒两点：1、 “解析”和“解析式”不要混淆。图像经“解析”后，其代数表达式没有任何限制；而“解析式”只是“解析”结果中的一种，特指函数式。2、 函数解析式，是方程的一种类型。即“方程”包括“函数解析式”。在函数的学习过程中，有两点同学们应该体会得比较深刻：1、 “数”和“形”的对应。看到一个函数解析式，我们就能知道其对应的函数图像大概是什么模样；看到一个函数图像，我们就能知道其对应的函数类型。2、 学好函数的要点是把系数的作用理解透。每一个系数的变化会导致图像发生什么样的变化；看到函数图像，就能知道对应系数的代数性质。同样，在解析几何的学习过程中，这两点仍旧发挥着重要作用。要学好解析几何，1、 要掌握好“数”与“形”的对应，这其实就是数学的解析思想。2、 要紧抓住“图形的要素”，就是控制或表达图形的重要参数。总之，掌握好了“解析”和“要素”，解析学就好了，而且会感觉到特别简单。特别提醒文科生一句：解析几何学好了，高考数学及格没问题。2、 从一次函数说起在初中，我们就已经学习过了一次函数。我们都知道，一次函数y=kx+b（k不等于0）的图像是一条直线。反过来问一句，直线对应的就是一次函数吗？答案当然是否定的，因为当k=0时，y=b是一条垂直于y轴的直线。因此，多余老师起了两个专用名词-“斜直线”和“直直线”。即：y=kx+b（k不等于0）对应的是“斜直线”；“斜直线”对应的是y=kx+b（k不等于0）。即“斜直线”与一次函数是相互对应的。当k=0时，y=b是“直直线”。现在，我们对一次函数提出高中阶段的研究问题。一次函数解析式y=kx+b（k不等于0），是一个二元一次方程；其解析式右边kx+b，是一个一元一次代数式。那么，二元一次方程是不是都可以用“斜直线”来展示？一元一次代数式是不是都可以用“斜直线”来展示？垂直于y轴的直线为y=b，那么垂直于x轴的直线是什么？那就是x=a。x=a、y=b这两种“直直线”都是一元一次方程；其等式的右边都是常数（即0次代数式）。那么，一元一次方程是不是都可以用“直直线”来展示？“0次代数式”是不是都可以用“直直线”来展示？这提出的就是“数”与“形”的对应问题，即“解析”。还是先细看看一次函数。y=kx+b中，有两个系数。一次项系数k，k大于0时，直线为“升调”；k小于0时，直线为“降调”。即k的正负与“斜直线”的“升”“降”是相互对应的。而且知道，当两条“斜直线”平行时，它们的k相等。到了高中，给k起了个名字，叫斜率。常数项b，代表了“斜直线”与y轴的交点（0，b）。到了高中，给b也起了个名字，叫截距。现在，我们又可以对一次函数提出高中阶段的研究问题。斜率和截距，谁是直线的“要素”？直线的“解析”、直线的“要素”就是学好直线方程的两把钥匙。3、 从几何角度说直线 两点确定一条直线。根据这条公理，可以知道，给出两个点的坐标，就可以得出过这两点的直线表达式。在学习一次函数时，已经解决过这类问题。当时，用的是“待定系数法”，这是一种纯代数方法，有没有更简单更快捷的办法呢？如果不给两点坐标，只给出一个点，再加一个什么条件，也能确定一条直线呢？那就需要告诉“方位角”，在小学时我们就使用过。如：从学校出发，沿东偏南30方向，走600米。即：在平面直角坐标系中，“点加角”确定一条直线。在高中，给“方位角”取名叫倾斜角。而倾斜角的正切值，就是斜率。4、 直线方程根据前面提出的研究问题和相关知识的了解，紧抓住“解析”和“要素”，就可以很清晰明确地掌握直线方程。 1、二元一次方程，都可以改写成一次函数形式，所以，二元一次方程与“斜直线”相互对应。2、一元一次方程，与“直直线”相互对应。3、直线的要素是斜率。根据以上3条，我们来一一点评直线方程的五种形式： 1、一般式：Ax+By+C=0（A2+B2不等于0，即A、B不同为0）。一般式是把二元一次方程和一元一次方程，进行合并表达。当A*B不等于0，即A、B都不为0时，一般式是二元一次方程。当A*B=0，且A2+B2不等于0，即A、B有且只有一个为0 时，一般式是一元一次方程。所以，其最大的优点是：一般式可表示所有直线。对于一般式注意四条：A、题目中出现未知直线，当不能明确是“斜直线”时，一定要设成一般式。B、依据方程直接进行代数计算时，一般式直接使用。C、当直线已知，要进行分析使用时，将一般式改为斜截式（一次函数式）。D、直线方程做为答案时，要写成一般式。（因为标准答案就是一般式）2、两点式：（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）。两点式代表了“两点确定一条直线”。但其代数形式，最为繁琐。并且，由于出现了分母，导致其受限最为严重，即只能使用于“斜直线”。所以，两点式知道即可，弃之不用。知道点什么？就是“竖”比“横”=“竖”比“横”=k前面说过，当知道两点时，用一次函数的待定系数法，也很繁琐。这时，直线的要素“斜率”的重要作用就体现出来了。已知两点，先求出k。3、 截矩式：x/a+y/b=1。截矩式是两点式的一种特殊情况。两点式都弃之不用，截矩式也一样了。截矩式体现了截矩，从这也能看出，截矩不是直线的“要素”。并用，截矩不仅不能表示“直直线”，还不能表示“正比例函数直线”（即不能过原点）。对于截矩式只要记住，当已知直线的截矩式时，你要知道直线过（a，0）、（0，b）。4、点斜式：y-y1=k（x-x1）。点斜式体现了，在直角平面直角坐标系中，“点加角”确定一条直线。点斜式本身就是“竖”比“横=k，为了回避分母，改写成了乘积形式。从这也能看出，直线的要素是k。对于点斜式注意两条：A、 在使用时，一般还是用“竖”比“横=k的形式。B、 点斜式不能使用于与x轴垂直的直线（此时k不存在）。5、斜截式：y=kx+b。斜截式是点斜式的一种特殊情况。与一次函数解析式相比，斜截式去掉了k不等于0的限制。其优点是：斜截式的形式最为简洁；并且突出了直线的要素k。所以，对于斜截式的使用，是多多益善。但要注意一点，当k不存在时，不能使用。5、 直线的平行和垂直 平行和垂直是几何问题，这就要借重于“形”，即直线的“要素”k。两直线平行，斜率相等。两直线垂直，斜率积为-1（即斜率互为负倒数）。但k的唯一缺憾是，直线有k不存在的情况。这时，一般式就体现出了其优点。对于一般式两直线平行时，斜率相等，即A1：B1=A2：B2，回避分母，改写为乘积形式。即为两直线平行，A1*B2=A2*B1。两直线垂直时，斜率互为负倒数，即（A1/B1）*（A2/B2）=-1，再回避分母。即为两直线垂直，A1*A2+B1*B2=0。这两个结论，更使用于所有直线。6、 坐标和距离公式求坐标、求距离，都是要进行准确计算，这就要借重于“数”。但是在分析、理解、判断时，不要得意忘“形”。1、求两直线交点坐标。交点坐标就是方程组的解。但可以利用“形”的“要素”k，先分析判断一下两直线的关系。如平行，则无解；如重合，则无穷个解。此时，不用解方程组，即可得出结论。2、 两点间距离公式。两点间距离公式来源于“勾股定理”。这充分体现了，平面直角坐标系中，利用“横平竖直”构建直角三角形的“形”的优势。当两点“同横”或“同竖”时，直接一减就出来了，可别套公式哦。而且，对于公式，一定要进行“解析”，可以解决更多问题。如：求根号（x-1）2+（y+2）2+根号（x-4）2+y2的最小值。根据其形式符合两点间距离公式的特征，此题先转化为几何问题。即求（x，y）到（1，-2）和（4，0）两点距离和的最小值。再画图分析可得，最小值就是（1，-2）和（4，0）两点间的距离。再出一题：如x+y=1，求x2+y2的最小值。提示：x+y=1是一条直线，则x2+y2表示直线上的点到原点距离最小值的平方。答案：二分之一。3、点到直线的距离点到直线的距离公式，其使用频率是比较高的。但从其代数表现形式看，结构有些庞杂。可是，如果理解公式各部分所对应的“形”的意义，则该公式就显得非常简单。并且在实际解决问题时，并不一定非套公式不可。比如：点到“直直线”的距离，直接一减就得出了。公式的分子，是将点坐标入直线一般式。因距离无负数，所以带绝对值。公式的分母，是勾股定理求斜边长。这样对于记忆公式是有很大好处，但对于理解还远远不够。首先我们要搞明白：点坐标代入直线一般式，表示的“形”是什么？公式分母的勾股又是表示的什么“形”？由公式分母的勾股形式，我们很容易想到直角三角形。多余老师用文字说，你们自己画图。任意画一条“斜直线”a。（点到“直直线”距离很简单，在这就不用管了。）直线外任取一点M。作MN垂直于直线a，垂足为N。作MP垂直于x轴，交直线a于P。这样，MNP就构建出一个直角三角形。看一下角NMP与直线a的倾斜角有什么关系？当直线a为“升调”时，两角相等；当“降调”时，两角互补。由此，可得出直角三角形MNP的三边比。即NP：MN：MP=|A|：|B|：根号（A2+B2）。（加绝对值，是因为长度没有负数）到这，可以看出，点到直线距离公式的分母，表示的“形”就是：直角三角形的三边比。因为MP：MN=根号（A2+B2）：|B|所以，公式的分子，点坐标代入直线一般式，得出的是MP*|B|。所以，点到直线的距离公式可变为：MP*|B|/根号（A2+B2）这样的好处是：不但方便求出点到直线的距离MN，还能很方便地求出NP。NP=MP*|A|/根号（A2+B2）顺着这个思路，我们还能把点到直线的距离公式做更进一步的简化。如果“斜直线”方程给的是斜截式y=kx+b，即kx-y+b=0。则点到直线的距离公式可变为：MP/根号（k2+1）。这时，NP=MP*|k|/根号（k2+1）。以上对点到直线距离公式的演变推理，不但使我们对公式的理解更加透彻、准确。而且最大的收获是：在平面直角坐标系中，利用“横平竖直”构建直角三角形，快速得出三边比。4、平行线间的距离“线到线”的距离，可比点到线的距离公式简单多了。而且，根据上面的推导演变，点到线的距离和“线到线”的距离可以统一：对于“直直线”，直接一减就行。对于“斜直线”，使用斜截式，距离=“竖”/根号（k2+1）。“竖”在点到线时，是MP；在“线到线”时，就是|b1-b2|。这会可把截矩b给用上了。5、 中点坐标中点坐标公式，简洁明了。在此只多说一句：中点就是平均数。七、再说几句多余的话1、解析几何是高考数学的的一项大头。选择填空一般至少有3题，解答有1题。选择填空1题5分，大题1 题12分，合计就至少有27分。占总分有五分之一了。而且解析几何的题目，不出现高难度，学透了，就能拿这部分的满分。所以，多余老师在前面说了：学好解析几何，高考数学及格没问题。2、理科生要锻炼提高自己的“解析”思想。通过前面的讲说和举例，都可看到，搞明白“数”和“形”的对应关系，不仅可以都计算得到简单。而且不但会用代数的方法解决几何问题，也会用几何方法来解决特定的代数问题。在这再出一题：已知x+y-1=0（1小于等于X小于等于2），求（y+3）/（x+1）的最大值